)黎曼－斯蒂尔杰斯积分
数学中常用的一种积分。它是黎曼积分的推广。通常利用黎曼积分可以计算几何形体的面积、体积，物理和力学中的功、能，物体的重心和转动惯量以及更一般的矩等等。例如，设【α, b】上分布了一些有质量的物质（或电荷）。如果分布是非均匀的，但有密度，并且密度函数ρ(x)在【α，b】上是连续的或黎曼可积的,那么物质（或电荷）对【α,b】外某点c的矩（或电位）可用形式为
的黎曼积分来计算。如果计算n次矩，ƒ(x)便是(x-c)n;如果计算位能,ƒ(x)便是
。然而，当分布根本没有密度函数时，黎曼积分对上述问题就失效了。因此，数学上有必要引入下面更广泛的积分概念。 设ƒ(x)，g(x)是【α,b】上两个函数（可以是复值函数）。对【α,b】上任何分点组
，作和式 
，
，记
，如果存在S,使得
,则称ƒ(x)关于g(x)在【α,b】上是黎曼－斯蒂尔杰斯可积的,并称S为ƒ(x)关于g(x)的黎曼－斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)。通常记S为
。特别，当g(x)=x+с（с是常数）时，上面的积分S 就是ƒ(x)的黎曼积分。又如果g(x)表示【α,x】上总质量或总电荷量，那么g(xi)-g(xi-1)便是(xi-1，xi】（当xi-1=α时，应是【xi-1,xi】）上总质量或总电荷量。因此,上述新积分就能用来计算非均匀分布，特别是密度函数不存在时非均匀分布关于某点с的矩或电位。R-S积分是建立一般的曲线积分的基础。 黎曼－斯蒂尔杰斯积分有下面常用性质。
① 如果ƒ(x)、g(x)有一个公共的不连续点,则积分不存在。
② 线性性质。设α，β是任何两个复数，如果ƒ(x)关于g1(x)和g2(x)可积，则
。
。
⑥ 设ƒ(x)是【α,b】上有界函数，g(x)是【α,b】上的有界变差函数，ωi表示 ƒ(x)在【xi-1,xi】上的振幅，即
，
，
。 ⑦ M-l不等式。如果ƒ(x)是有界函数，g(x)是有界变差函数，并且ƒ(x)关于g(x)可积，则
，
是g的全变差（见有界变差函数）。 ⑧ 如果 g(x)是【α,b】上有界变差函数,{ƒn(x)}是【α,b】上关于g(x)可积的一列有界函数，并且一致收敛于ƒ(x)，则ƒ(x)必关于g(x)可积，并且
。
，那么ƒ(x)关于g(x)可积，且 
。
