)魔术方阵
魔术方阵简单的说,就是将连续整数1,2,3....,n 的数字,依特别之顺序,排在方阵里.使每一行的数,每一列的数或对角线位置的数各自相加,所得的和皆均为相同.
魔术方阵别称
魔术方阵(亦称魔方阵)是一种已流传千年的数字排列,不管是中西方对这奇妙的阵列都有所研究.魔术方阵其实是由西方"MAGIC QUA RE"翻译过来的,当然,在东方也有不同的别称.在中国我们称之为"幻方",我国古代就有"纵横图"的称呼.而日本则称之为"方阵".
魔术方阵历史
根据【论说】和【星子】中的记载,传说大约在三千年前,夏禹治水时,在洛水里出现了一只大乌龟,龟背上刻有奇特的图案,人们将它取名为【洛书】.
这个方阵具有一个奇特的性质,那就是每一行,每一列以及对角线上的数字和都是15.祖先们认为"洛书"是一个吉祥的象徵,所以有许多人都将它画在纸上携带,认为有保平安的效果.在别的东方地区也有幻方的记载,但多数也蒙上神秘的色彩.较早期的一个,是刻在印度一所庙宇石上,年代大约是十一世纪,是四阶幻方.古代印度人十分崇拜这种幻方,至今从古神殿的遗址,墓碑上常常还可以发现四阶幻方的遗迹.至今还有许多印度人把【洛书】的图案佩在胸前当作"护身符".据中国古代数学的书.【数术记遗】中记录了一个三行三列的纵横图.当时称为【九官】.
由於洛书共有九个数字,所以汉代的徐岳把它称为"九宫算"(或九宫) 汉代之後又有很大的扩展,成为纵横均为n行的纵横图.而公元十世纪宋朝时,有人将【九宫】和【易系辞】中的【洛出书】附会起来,合称为【洛书】.西元1275年,中国数学家杨挥在"古摘奇算法"中更进一步模仿洛书,计算出了五五幻方,六六幻方....九九幻方及百子幻方(十阶幻方) 等.
魔术方阵的个数
由排列组合计算, 可以发现,由整数所组成的n阶方阵的数目 (n2)!种,成阶层式的增加, 所以我们也预测幻方的数目应是随著阶数的增加而大幅增加. 若由已知条件和未知变数来看, 在三阶以上的方阵,未知数的数目都大於已知条件,而且条件增加的速度远比未知数数目增加得慢,若不发生矛盾的现象,解应该是随阶数而增加的.
《河图》（左）《洛书》（右）
阶
方阵排列组合数目
幻方数目
1
1种
1个
2
24种
0个
3
362880种
8个
4
20922789888000种
7040个
5
371993326789901217467999448150835200000000种
2202441792个
由幻方的旋转,我们可以得到四种变化:
0 度 90度 180度 270度 四种旋转
若将幻方整个翻转过来,又可以的到另外的四个不同的幻方,可知幻方的数目必为8的倍数.
a.顺时针旋转270度,180度,90度
b.依照铅直,水平对称轴镜射
c.依照左上→右下,右上→左下对角线镜射总共有八种
我们可以以3阶方阵为例,可求出其他7个幻方:
原方阵
8
1
6
3
5
7
4
9
2
90度
4
3
8
9
5
1
2
7
6
180度
2
9
4
7
5
3
6
1
9
270度
6
7
2
1
5
9
9
3
4
铅直
6
1
8
7
5
3
2
9
4
水平
4
9
2
3
5
7
8
1
6
左上右下
8
3
4
1
5
9
6
7
2
右上左下
2
7
6
9
5
1
4
3
8
魔术方阵的个数资料
计算各种不同阶数的正规幻方的总数,是一个非常困难的问题,在过去的200多年中,许多人就曾经为这个问题大伤脑筋,但是所得的成果并不多.Frenicle de Bessy(1693年)在一本著作中提出三阶魔方阵只有8个,四阶魔方阵有7040个,後来许多人也验证无误.但五阶魔方阵的总数则一直等到1973年才由 Richard Schroeppel 利用电子计算机花了100小时左右的时间才求出来,除此之外,六阶以及六阶以上的正规幻方总数都尚未求出来.
魔术方阵公式
一个n阶幻方中,因为每行的数字相等= 数字和=各行数字和(魔数)×行数
n (n +1) = m × n ---> M = n(n +1)
因此我们可以利用这个公式来计算魔术方阵的魔术:
三阶幻方的魔数为 15
四阶幻方的魔数为 34
五阶幻方的魔数为 65
魔术方阵制作歌诀
三阶幻方(九宫数):【九子斜排,上下对异,左右相更,四维挺出, 戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足.】
四阶幻方(阴图):【易换术曰:以十六子,依次递作四行排列,先以外四子对换,一换十六,四换十三,以四内角对换,六换十一,七换十, 横直上下斜角,皆三十四数,对换止可施之於小.】
魔术方阵的个数
由排列组合计算, 可以发现,由整数所组成的n阶方阵的数目 (n2)!种,成阶层式的增加, 所以我们也预测幻方的数目应是随著阶数的增加而大幅增加. 若由已知条件和未知变数来看, 在三阶以上的方阵,未知数的数目都大於已知条件,而且条件增加的速度远比未知数数目增加得慢,若不发生矛盾的现象,解应该是随阶数而增加的.
阶
方阵排列组合数目
幻方数目
1
1种
1个
2
24种
0个
3
362880种
8个
4
20922789888000种
7040个
5
371993326789901217467999448150835200000000种
2202441792个
由幻方的旋转,我们可以得到四种变化:
0 度 90度 180度 270度 四种旋转
若将幻方整个翻转过来,又可以的到另外的四个不同的幻方,
可知幻方的数目必为8的倍数.
a.顺时针旋转270度,180度,90度
b.依照铅直,水平对称轴镜射
c.依照左上→右下,右上→左下对角线镜射总共有八种
我们可以以3阶方阵为例,可求出其他7个幻方:
原方阵
8
1
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2
90度
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180度
2
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270度
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铅直
6
1
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3
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水平
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左上右下
8
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2
右上左下
2
7
6
9
5
1
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3
8
魔术方阵的建构方法
魔术方阵要满足各行各列各对角线之和相等的条件,是否有简单的方法可以达到这个目标呢?以下我们就来探讨一下有关魔术方阵建构的问题。
三阶幻方的建构方法:
一开始我们由三阶的魔术方阵做起,魔术方阵是一个有趣的数学问题,不过如果我们严肃的看他,其实魔术方阵就是一个满足许多简单数字和条件的一种方阵。假使我们将一个三阶的魔术方阵用八个等式表现出来,即:
a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15
a + d + g = 15 b + e + h =15 c + f + i = 15
a + e + i = 15 c + e + g = 15
a
b
c
d
e
f
g
h
i
解这有九个变数的联立方程式, 我们可以得到下面的结果.
由旁边的结果我们可以用讨论的方式得到魔术方阵
a
10-h
h+5-a
h+10-2a
5
2a-h
5-h+a
h
10-a
2k+1
10-h
h+4-2k
h+8-4a
5
4k+2-h
6-h+2k
h
9-2k
1. 若 a = 2k+1 (奇数)
若h为偶数,则10-h, h+4-2k, h+8-4k, 4k+2-h, 6-h+2k,h 这几个数都是偶数.有六个偶数出现,不过因为三阶魔术方阵是由1~9这几.个数字所构成的->与前提相矛盾.
b.若h为奇数,则所有的数字都是奇数->与前提矛盾。
c.由以上可知若a为奇数, 不可能造出魔术方阵。
2. 若 a = 2,4,6,8 则刚好都可以各造出两个方阵..
2k+1
10-h
h+4-2k
h+8-4a
5
4k+2-h
6-h+2k
h
9-2k
四阶幻方的建构方法
接下来我们来探讨一下四阶方阵的建构方法.首先我们观察一下变数以及已之条件的变化情形。四阶幻方的已之条件有10条(各行各列各对角线之和等於魔数),但是四阶幻方的变数却有16个之多。由此可知我们如果要利用像三阶幻方那样的"暴力"解法的话是行不通的。因此我们转为利用分析的方式来一步一步的建构四阶魔术方阵。
首先我们先将魔术方阵填成如下图的模样:
1
2
3
4
5
6
7
8
17-8
17-7
17-6
17-5
17-4
17-3
17-2
17-1
可以看出两对角线已经是相等而且等於魔数,所以将对角线上的数字固定。
由直列和的关系可以将方阵加以调整。
34-6 34-2 34+2 34+6 <=各直列之数字和
↓可得到下图的结果
1
2
3
4
8
7
6
5
17-5
17-6
17-7
17-8
17-4
17-3
17-2
17-1
34-24
34-8
34+8
34+24
由横行和的关系可以将方阵加以调整。
使每横行的和都为魔数。(34)
(有一种对称的感觉)
↓如此一来我们的方阵就越来越接近魔术方阵了。
1
17-3
17-2
4
17-5
7
6
17-8
8
17-6
17-7
5
17-4
2
3
17-1
1
14
15
4
12
7
6
9
8
11
10
5
13
2
3
16
就这样利用一个满直观的方法得到了一个魔术方阵。
幻方
