)高维欧氏几何学
白话高维欧氏几何学的思路和方法
【摘要】要在现实的三维的世界里表示一个n维的世界，那么，这个被表示的“n维世界”里将有n-3个两两垂直的方向是看不到的。就是说，如果硬要搞出一个“n维直角坐标系”则要有n-3个坐标轴无法画出。
《高维欧氏几何学》和《画法几何》都成功地解决了这个问题，但《画法几何》的方法由于没有与相应的变换式相联系，n维空间中一个点要用n-3个线段去表示，方法过于复杂，因而收效甚微；《高维欧氏几何学》由于采用了“关系”法，一个点状图形可以表示n维空间中n-3个线性无关的向量，因而收获巨大。
【关键词】斜轴变换，斜轴画法，主垒向，主垒空间，泛点
《高维欧氏几何学》有别于其它任何所谓的高维几何，主要表现在它成功地解释了高维欧氏空间的主要的几何现象，并将《线性代数》中的相关内容推进到了几何化的高度。它为什么能够取得这么大的成功呢？这主要归功于它那独特而神奇的思路和方法。
《高维欧氏几何学》的思路和方法，总称为“关系”法，内中又包含了“斜轴变换”和“斜轴画法”两项内容，其前者可以看作是思路，而后者可以看作方法。
斜轴变换的思路基于这样一种现实：我们所生活的这个世界是一个三维的世界，我们要在这个三维的世界里来表示一个n维的世界，那么，这个被我们所表示“n维世界”里将有n-3个两两垂直的方向是看不到的。就是说，如果硬要搞出一个“n维直角坐标系”则要有n-3个坐标轴无法画出。
那么，斜轴变换是如何解决这一难题的呢？
顾名思义，既称“变换”，那一定是与某种变换式结了缘。
一次偶然的尝试，竟然意外地导出了一个神奇的结果！这个神奇的“结果”就是那个后来被称作“关系式”的变换式。利用这个变换式，笔者尝试着作出了一个模拟的四维直角坐标系。因为那个变换式反映了一种特定的条件，这个模拟坐标系也是仅仅满足这种特定条件下所作出的，所以我将其称为“特定四维系”。
按照那种变换式的条件，在这个四维系中，第三个坐标轴是倒在前两个坐标轴所在的坐标面的，它倒下去的同时，有一条直线（这直线的方程关于第四个坐标轴的坐标为零）及与这个直线互相平行的所有直线都被压缩成了点状。这种“点状”的图形，与原来坐标系中的“点”就不是同一种意义上的图形了，我将它们称为“泛点”，这些“泛点”因为都表示一条直线，所以它们的足阶阶数为1阶。
将那个变换式移项，变换式的左端是一个向量，我发现，这个向量正是那些被压缩为点状的直线的方向，或者说，它的方向是“泛点”所表示的那些直线的方向。
现在，在那个特定四维系中，能看见的互相垂直的坐标轴只剩下了三条：第一、第二和第四条（第三条倒在了前两个坐标轴所在的坐标面上）。我又选择了一条关于这三条坐标轴的坐标不为零而关于第三个坐标轴的坐标为零的直线，先确定它的方向，与这直线平行的一个向量称作这直线的方向向量。再将这方向向量的右端加上关系号，关系号右端再写上一个０。然后，再移项，这向量的前两项被移往关系式右端，于是又变成了一个新的关系式。按照这个新的关系式，第四个坐标轴也倒在了前两个坐标轴所在的坐标面上。
现在，有着四个坐标轴的一个坐标系，变成了这么一个扁平形状的同样有着四个坐标轴的平面坐标系，我将其暂时称作“特定四维平面”。过这特定四维平面的原点引一条垂直向上的射线作为第五个坐标轴，就构成一个特定五维坐标系（简称五维系或特定五维系）。这特定五维系中的点状图形也称作“泛点”，这些“泛点”因为表示两条互不平行（但却相交）的直线，因此它们的足阶阶数为2。
在这个五维系中，看得见的互相垂直的坐标轴仍然只有三条：第一、第二和第五条。再选择一条关于这三条坐标轴的坐标不为零而关于另外两条倒下去的坐标轴的坐标均为零的直线，确定它的方向向量，并按照上面的做法将其改写为变换式。那么，这第五个坐标轴也倒在了前两个坐标轴所在的坐标面上，变成“特定五维平面”。再过这特定五维平面的原点引垂直向上的射线作为第六个坐标轴，构成特定六维系。特定六维系中的点状图形仍称作“泛点”，它们的足阶阶数为3。
再找一关于第六、第一和第二坐标轴坐标不为零而关于第三、第四、第五坐标轴坐标为零的直线，确定方向向量，改写为变换式，构造特定七维系……。照这个思路一直做下去，我们终究会做出一个特定n维系。这特定n维系中的点状图形同样称作“泛点”，因为它们表示n-3条互不平行但却能相交于一点的直线，所以，它们的足阶阶数为n-3。
这里，我们将n维空间中那看不见的n-3条坐标轴改为n-3条直线，那n-3条坐标轴就变为可以看到了。这n-3条直线虽然变为看不见了，但是在相应的变换式中可以得知他们的方向。
说完了基本思路，现在该说说基本方法了。基本方法是“斜轴画法”。
基本方法的前提，是我们将特定n维系中的所有图形都看作泛点的“轨迹”。当一泛点沿着一个方向均匀平行移动时，它的后面就留下一条痕迹，这条痕迹就称为它移动的“轨迹”。泛点平移的轨迹形成泛曲线，泛曲线平移的轨迹又形成泛曲面。但归根结底，泛曲面也是看作泛点的轨迹，而泛点又是看作点的轨迹。在这样的意义下建立了泛曲面、泛曲线的图形与相应的代数方程间的关系：凡在这泛曲面或泛曲线上的点的坐标都满足它们的方程，凡不在这泛曲面或泛曲线上的点的坐标都不满足它的方程。
如何判断一个点在或不在这泛曲面或泛曲线上呢？
这就要说到我们的基本方法——斜轴画法了。斜轴画法由三种图示法所组成，这三种图示法分别是：
1.直接图示法；
2.间接图示法；
3.一般图示法。
普通的解析几何中，因为那里的图形只是看作普通点的轨迹，所以只使用一种图示法就足够了。但四维以上的空间中的图形，都是先看作泛点的轨迹，然后再把泛点看作普通点的轨迹。隔了这样一层关系，问题就变得复杂了。
由于泛点分为足阶、乏阶和零阶三种，针对不同阶数的泛点，就要有不同的图示方法。
在特定n维系中，第三、第四、……，一直到第n-1个坐标轴是倒在前两个坐标轴所形成的坐标面上，而且方向通常是倾斜的，所以称这n-3个轴为斜轴。
在这些斜轴形成的过程中，有n-3条直线被压缩成为“泛点”，这n-3条直线的方向都分别各用一个向量表示，称作主垒向，每个主垒向各乘以一个倍数后，再把乘以倍数后的各个主垒向相加，称作主垒向间的一个线性组合。各个主垒向的所有的线性组合表示一个n-3维的空间，这个空间称作主垒空间，位于原点的那个泛点正好表示这个主垒空间，而其它泛点都与这个泛点全同。
一般图示法是针对足阶泛点的特点而设立的，用来表示足阶泛点及其平移轨迹所形成的图形；间接图示法是针对乏阶泛点的特点而设立的，用来表示乏阶泛点及其平移轨迹；直接图示法则是针对零阶泛点而设立，用来表示它的平移轨迹所形成的图形。
一般图示法基于点共泛理论。所谓点共泛理论，是指选择这样一组点，这些点共有n-2个，其中由任意一个点出发指向另外n-3个点的向量的坐标可以组成这样一个矩阵，这个矩阵经过初等变换可以变成由各个主垒向的分量所组成的矩阵（称作主垒阵）。然后，再根据主垒阵而确定出各个主垒向，将各个主垒向改写为变换式，就构造出一个特定n维系，使这n-2个点被压缩在同一个泛点中。当这n-2个点处于同一泛点之中时，称这n-2个点“共泛”。
间接图示法则比较简单，因为图示对象是乏阶泛点及其平移轨迹，所以在给出图形的同时，相应地作出文字说明或给出相应的代数方程。
比较麻烦的是直接图示法。为了保证对同一类型的点的图示功能的唯一性，需要使被图示的点关于各斜轴坐标与所采用的特定n维系的主垒向的第三个分量间有一种线性关系，为此将被图示的点的坐标称为“斜标”，各主垒向的第三个分量称为“斜数”，使被图示的点“斜标”与“斜数”间保持一定的倍数。同时，根据体视投影图形（是一种立体图，原理与立体电影相仿）原理，还需要用一对特定n维系来表示。已有的特定n维系称作“主系”，新增加的特定n维系称作“客系”，“客系”与主系的区别，是它的“斜轴”与“主系”关于原点对称。
三种图示法很好地解决了特定n维系中图形和相应的代数方程之间的关系问题，为进一步研究它们的几何性质，和它们之间的相互关系打下了坚实的基础。
目前，人们研究高维空间几何现象的方法主要有以下三种：画法几何的方法；非欧几何的方法；线性变换的方法。但是，这三种方法所取得的进展微乎其微，唯独高维欧氏几何学的方法一枝独秀，基本上系统地解决了高维欧氏空间的几何问题。是什么原因造成了这种局面？我们就来分析一下。
先说画法几何。画法几何虽然取得较另外两种方法多得多的成就，例如，用单位圆法解决了n维空间中两个平面间的夹角问题，相应的方法被《高维欧氏几何学》所引用并发展成夹角问题的“简氏解法”。
但是，由于画法几何没有与相应的变换式联系起来，它就必须在作图方法上弥补这些缺陷。我们说，由于是在三维世界里研究n维空间的事物，那么，必然要有n-3个方向无法直接看到。画法几何为了设法让人们看到这n-3个方向，不得不在作图过程中添加许多线条来表示这n-3个方向。例如要表示四维空间的一个点，前三个坐标容易解决，第四个坐标如何办呢？它只好用一个线段来表示。就是说，我们看到的四维空间的一个点，在这里变成了一条线段。同样，在五维空间，它要用两个线段来表示一个点。依此类推，在n维空间，它就要用n-3个线段来表示一个点。这么多的线条，这么复杂的作图方法，不仅制作起来相当繁琐，识别起来更加困难重重，这就为它的实用化设置了巨大的障碍。因此，它不可能取得更大的突破和进展。
而高维欧氏几何学的方法是建立在斜轴变换和斜轴画法的基础之上的，n维空间中那看不见的n-3个方向，可以通过它的变换式而得以昭示。这样，我们用一个点状图形——泛点，就表示了这n-3个方向。在斜轴变换和斜轴画法的基础上，高维欧氏几何学解决高维空间的几何问题就呈现出高屋建瓴，势如破竹的局面。
再看线性变换的方法。由于只在非奇异线性变换上打主意，因为无法解决模拟直角坐标系的问题，尽管采用了“斜坐标”的方法，最终还是无法解决n维空间中那无法看到的n-3个方向，因此，几乎是无果而终。
最后再看非欧几何的方法。非欧几何目前还无法上升到解析几何的高度，要用它来解决高维空间的几何问题，必须先对它进行“数字化”处理，就是说先要把它变为解析几何。但是，解析几何是在一定的坐标系中来研究代数方程的几何性质。而目前，它仅有的所谓“坐标系”仅仅是一个克莱因模型，最多只能勉强表示二维空间的几何问题。而且由于该模型是非线性的，用来图示线性方程组所表示的图形还远远不够现实。为此，许多人试图对非欧几何进行进一步的改造，使它与欧氏空间的差距尽可能无穷尽地缩小。但是，据我预测，他们的最后这一步的目的即使达到了，当他们试图在此基础上建立高维解析几何时，他们仍然会落入线性变换方法（第二种方法）的巢臼而无法自拔。
《高维欧氏几何学》的思路和方法，不仅仅在高维解析几何中表现了出色的神奇作用，我们预期，它们将会在物理学和经济学领域里同样大展身手。
本贴转自河风海韵 » 【学无常师】学术研究讨论专版
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