)高精度计算
所谓的高精度运算,是指参与运算的数(加数,减数,因子……）范围大大超出了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。例如，求两个200位的数的和。这时，就要用到高精度算法了。在这里，我们先讨论高精度加法。高精度运算主要解决以下三个问题：
一、加数、减数、运算结果的输入和存储
运算因子超出了整型、实型能表示的范围，肯定不能直接用一个数的形式来表示。在Pascal中，能表示多个数的数据类型有两种：数组和字符串。
数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这里是一个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；用数组表示数的优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便。用数组表示数的缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输入习惯；
字符串：字符串的最大长度是255，可以表示255位。用字符串表示数的优点：能直接输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输入习惯；用字符串表示数的缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它转化为数值再进行运算；运算时非常不方便；
综合以上所述，对上面两种数据结构取长补短：用字符串读入数据，用数组存储数据：
var s1,s2:string;
a,b,c:array 【1..260】 of integer;
i,l,k1,k2:integer;
begin
write('input s1:');readln(s1);
write('input s2:');readln(s2);
{————读入两个数s1，s2，都是字符串类型}
l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。}
k1:=260;
for i:=l downto 1 do
begin
a【k1】:=ord(s1)-48;{将字符转成数值}
k1:=k1-1;
end;
k1:=k1+1;
{————以上将s1中的字符一位一位地转成数值并存在数组a中；低位在后（从第260位开始），高位在前（每存完一位，k1减1），完后，k1指向最高位}
对s2的转化过程和上面一模一样。
二、运算过程
在往下看之前，大家先列竖式计算35+86。
注意的问题：
（1）运算顺序：两个数靠右对齐；从低位向高位运算；先计算低位再计算高位；
（2）运算规则：同一位的两个数相加再加上从低位来的进位，成为该位的和；这个和去掉向高位的进位就成为该位的值；如上例：3+8+1=12，向前一位进1，本位的值是2；可借助MOD、DIV运算完成这一步；
（3）最后一位的进位：如果完成两个数的相加后，进位位值不为0，则应添加一位；
（4）如果两个加数位数不一样多，则按位数多的一个进行计算；
if k1>k2 then k:=k1 else k:=k2;
y:=0;
for i:=260 downto k do
begin
x:=a+b+y;
c:=x mod 10;
y:=x div 10;
end;
if y<>0 then begin k:=k-1;c【k】:=y; end;
三、结果的输出（这也是优化的一个重点）
按运算结果的实际位数输出
for i:=k to 260 do write(c);
writeln;
例子：求两个数的加法
program sum;
var s,s1,s2:string;
a,b,c:array 【1..260】 of integer;
i,l,k1,k2:integer;
begin
write('input s1:');readln(s1);
write('input s2:');readln(s2);
l:=length(s1);
k1:=260;
for i:=l downto 1 do
begin
a【k1】:=ord(s1)-48;
k1:=k1-1;
end;
k1:=k1+1;
l:=length(s2);
k2:=260;
for I+:=l downto 1 do
begin
b【k2】:=ord(s2)-48;
k2:=k2-1;
end;
k2:=k2+1;
if k1>k2 then k:=k2 else k:=k1;
y:=0;
for i:=260 downto k do
begin
x:=a+b+y;
c:=x mod 10;
y:=x div 10;
end;
if y<>0 then begin k:=k-1;c【k】:=y;
end;
for i:=k to 260 do write(c);
writeln;
end.
四、优化：
以上的方法的有明显的缺点：
（1）浪费空间：一个整型变量（-32768~32767）只存放一位（0~9）；
（2）浪费时间：一次加减只处理一位；
针对以上问题，我们做如下优化：一个数组元素存放四位数；（integer的最大范围是32767，5位的话可能导致出界）。具体方法：
l:=length(s1);
k1:=260;
repeat {————有关字符串的知识}
s:=copy(s1,l-3,4);
val(s,a【k1】,code);
k1:=k1-1;
s1:=copy(s1,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
k1:=k1+1;
而因为这个改进，算法要相应改变：
（1）运算时：不再逢十进位，而是逢万进位（mod 10000; div 10000);
（2）输出时：最高位直接输出，其余各位，要判断是否足够4位，不足部分要补0；例如：1，23，2345这样三段的数，输出时，应该是100232345而不是1234567。
改进后的算法：
program sum;
var s1,s2,s:string;
a,b,c:array 【1..260】 of integer;
i,l,k1,k2,code:integer;
begin
write('input s1:');readln(s1);
write('input s2:');readln(s2);
l:=length(s1);
k1:=260;
repeat {————有关字符串的知识}
s:=copy(s1,l-3,4);
val(s,a【k1】,code);
k1:=k1-1;
s1:=copy(s1,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
k1:=k1+1;
l:=length(s2);
k2:=260;
repeat
s:=copy(s2,l-3,4);
val(s,b【k2】,code);
k2:=k2-1;
s2:=copy(s2,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
k2:=k2+1;
if k1<k2 then k:=k1 else k:=k2;
y:=0;
for i:=260 downto k do
begin
x:=a+b+y;
c:=x mod 10000;
y:=x div 10000;
end;
if y<>0 then begin k:=k-1;c【k】:=y;end;
write(c【k】);
for i:=k+1 to 260 do
begin
if c<1000 then write('0');
if c<100 then write('0');
if c<10 then write('0');
write(c);
end;
writeln;
end.
减法：和高精度加法相比，减法在差为负数时处理的细节更多一点：当被减数小于减数时，差为负数，差的绝对值是减数减去被减数；在程序实现上用一个变量来存储符号位，用另一个数组存差的绝对值。
2、算法流程：
（1）读入被减数S1，S2（字符串）；
（2）置符号位：判断被减数是否大于减数：大则将符号位置为空；小则将符号位置为“-”，交换减数与被减数；
（3）被减数与减数处理成数值，放在数组中；
（4）运算：
A、取数；
B、判断是否需要借位；
C、减，将运算结果放到差数组相应位中；
D、判断是否运算完成：是，转5；不是，转A；
（5）打印结果：符号位，第1位，循环处理第2到最后一位；
3、细节：
▲如何判断被减数与减数的大小：字符串知识
（1）首先将两个字符串的位数补成一样(因为字符串的比较是从左边对齐的；两个字符串一样长才能真正地比较出大小)：短的在左边补0
k1:=length(s1);
k2:=length(s2);
if k1>k2 then for i:=1 to k1-k2 do s2:='0'+s2
else for i:=1 to k2-k1 do s1:='0'+s1;
（2）接着比较大小：直接比较字符串大小
fh:='';
if s1<s2 then begin fh:='-';s:=s1; s1:=s2; s2:=s; end;
{————s1存被减数，fh存符号}
▲将字符串处理成数值：
l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。}
k1:=260;
for i:=l downto 1 do
begin
a【k1】:=ord(s1)-48;{将字符转成数值}
k1:=k1-1;
end;
k1:=k1+1;
▲运算（减法跟加法比较，减法退位处理跟加法进位处理不一样）：
a.处理退位；
跟加法一样，在for语句外面先将退位清零，
用被减数再减去退位，
{注意：由于每一个数位不一定都得向前一位借位，所以这里退位得清零。例如，234-25，个位需借位，而十位不用}
接着，再判断，当被减数某一位不够减时，则需加上前一位退位过来的数。
{注意：由于这里采用优化方法，所以退一位，就等于后一位加上10000。）
最后，再拿一个数组来存储两个减数的差。
jw:=0;
for i:=260 downto k1 do
begin
a:=a-jw; {此处jw为下一位从I位的借位}
jw:=0; {此处jw为I 位准备向上一位的借位}
if a<b then
begin
jw:=1;
a:=a+10000;
end;
c:=a-b;
end;
▲打印结果：
先找到差的第一个非零数，如果差的所有位数都为零，就直接输出零。
如果不是，就输出符号位和差的第一位。
剩下部分，打印补足零:
因为优化后的高精度减法,是把每四个数位分成一段,而每一段则必须有四个
数,当有一段不足四个数时,就得用"0"补足.(如:第一位是'1',第二位是'34',第三位是'345',第四位是'8', 则应写为'1003403450008').注意:第一位不用补零,(如:第一位为'3',则写成'3').
while (c【k】=0) and (k<=260) do k:=k+1;
if k>260 then write('0')
else begin
write(fh,c【k】);{k是差的第1位；}
for i:=k+1 to 260 do
begin
if c<1000 then write('0');
if c<100 then write('0');
if c<10 then write('0');
write(c);
end;
end;
参考程序：
program Zfjianfa;
const n=25;
var s1,s2,s3,s4,s:string;
a,b,c:array【1..n】 of integer;
i,k1,k2,l,code,jw:integer;
cq:char;
begin
readln(s1);
readln(s2);
k1:=length(s1);
k2:=length(s2);
if k1>k2 then for i:=1 to k1-k2 do s2:='0'+s2
else for i:=1 to k2-k1 do s1:='0'+s1;
cq:=' ';
if s1<s2 then begin cq:='-'; s:=s1; s1:=s2; s2:=s; end;
l:=length(s1);
k1:=n;
repeat
s3:=copy(s1,l-3,4);
val(s3,a【k1】,code);
k1:=k1-1;
delete(s1,l-3,4);
l:=l-4;
until l<=0;
k1:=k1+1;
i:=length(s2);
k2:=n;
repeat
s4:=copy(s2,i-3,4);
val(s4,b【k2】,code);
k2:=k2-1;
delete(s2,i-3,4);
i:=i-4;
until i<=0;
k2:=k2+1;
jw:=0;
for i:=n downto k1 do
begin
a:=a-jw;
jw:=0;
if a<b then begin
jw:=1;
a:=a+10000;
end;
c:=a-b;
end;
while (c【k1】=0) and (k1<=n) do
k1:=k1+1;
if k1>n then writeln('0')
else begin
write(cq,c【k1】);
for i:=k1+1 to n do
begin
if c<1000 then write('0');
if c<100 then write('0');
if c<10 then write('0');
write(c);
end;
end;
writeln;
end.
高精度乘法基本思想和加法一样。其基本流程如下：
①读入被乘数s1，乘数s2
②把s1、s2分成4位一段，转成数值存在数组a,b中；记下a,b的长度k1,k2；
③i赋为b中的最低位；
④从b中取出第i位与a相乘，累加到另一数组c中；（注意：累加时错开的位数应是多少位？）
⑤i:=i-1；检测i值：小于k2则转⑥,否则转④
⑥打印结果
参考程序：
program chengfa;
const n=100;
type ar=array 【1..n】 of integer;
var a,b:ar; k1,k2,k:integer;
c:array 【1..200】 of integer;
s1,s2:string;
procedure fenge(s:string;var d:ar; var kk:integer); {将s分割成四位一组存放在d中，返回的kk值指向d的最高位}
var ss:string;
i,code:integer;
begin
i:=length(s);
kk:=n;
repeat
ss:=copy(s,i-3,4);
val(ss,d【kk】,code);
kk:=kk-1;
s:=copy(s,1,i-4);
i:=i-4;
until i<0;
kk:=kk+1;
end;
procedure init;
var i:integer;
begin
for i:=1 to n do begin a:=0; b:=0; end;
for i:=1 to 2*n do c:=0;
write('input 2 numbers:');
readln(s1);
readln(s2);
fenge(s1,a,k1);
fenge(s2,b,k2);
end;
procedure jisuan;
var i,j,m:integer; x,y,z,jw:longint;
begin
i:=n; k:=2*n;
repeat
x:=b; z:=0; m:=k; jw:=0;
for j:=n downto k1 do
begin
y:=a【j】;
z:=c【m】;
x:=x*y+z+jw;
jw:=x div 10000;
c【m】:=x mod 10000;
m:=m-1;
x:=b;
end;
if jw<>0 then c【m】:=jw else m:=m+1;
i:=i-1;
k:=k-1;
until i<k2;
k:=m;
end;
procedure daying;
var i:integer;
begin
write(c【k】);
for i:=k+1 to 2*n do
begin
if c<1000 then write('0');
if c<100 then write('0');
if c<10 then write('0');
write(c);
end;
writeln;
end;
begin
init;
jisuan;
daying;
end.
教材“基础编”P87高精乘法参考程序：
program ex3_1;
var
a,b,c:array【0..1000】 of word;
procedure init;
var
s:string;
ok,i,j:integer;
begin
readln(s);
a【0】:=length(s);
for i:=1 to a【0】 do
val(s【a【0】-i+1】,a,ok);
readln(s);
b【0】:=length(s);
b【0】:=length(s);
for i:=1 to b【0】 do
val(s【b【0】-i+1】,b,ok);
end;
procedure highmul;
var i,j,k:integer;
begin
c【0】:=a【0】+b【0】;
for i:=1 to b【0】 do
for j:=1 to a【0】+1 do
begin
inc(c【i+j-1】,a【j】*b mod 10);
c【i+j】:=c【i+j】+(a【j】*b div 10)+(c【i+j-1】 div 10);
c【i+j-1】:=c【i+j-1】 mod 10;
end;
end;
procedure print;
var i:integer;
begin
while c【c【0】】=0 do dec(c【0】);
for i:=c【0】 downto 1 do
write(c);
writeln;
end;
begin
init;
highmul;
print;
end.
