)高次方程
解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程。也有的通过因式分解来解。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
（9）对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
（10）由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
但是这个式子只能求出一个根
和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数
a，我们有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以
解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x
的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算)，这称为阿贝耳定理。
鲁菲尼和阿贝尔的证明毕竟是不很清楚的，甚至还有一些漏洞。阿贝尔并没有给出一个准则来判定一个具体数字系数的高次代数方程能否用根号求解。作为历史，他们的功绩不容抹杀，但与不久以后出现的伽罗华的辉煌成就相比，就大为逊色了！
伽罗华（Galois，1811——1832）是法国青年数学家，15岁进入巴黎有名公立中学学习，偏爱数学。后来想进工科大学，两次落榜只进一所代等的预备学校，此时，他专攻五次方程代数解法。第一年写了四篇文章，1828年，17岁的伽罗华写了《关于五次方程的代数解法问题》等两篇论文送交法国科学院，但被柯西（Cauchy, 1789——1875）遗失，后来，他又把一篇文章送给傅利（Fourier，1768——1830）。不久，傅利就去世了，也就不了了之。1831年，伽罗华完成了《关于用根式解方程的可解性条件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。伽罗华不幸因决斗受重伤于1832年5月31日离世，时年不满21岁，在决斗前夜，他深知为女友决斗而死毫无意义，但又不甘示弱，当晚他精神高度紧张和极度不安，连呼“我没有时间了！”匆忙之中，把他关于方程论的发现草草写成几页说明寄给他的朋友，并附有如下一段话：“你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。”到了14年后的1864年，刘维尔（Liouville，1809——1882）在由他创办的《纯粹数学和应用数学杂志》上发表了伽罗华的部分文章。关于伽罗华理论的头一个全面而清楚的介绍是若当（Jordan，1838——1892）于1870年出版的《置换和代数方程专论》一书中给出的。这样。伽罗华超越时代的天才思想才逐渐被人们所理解和承认，至今已成为一门蓬勃发展的学科——抽象代数学。伽罗华避开了拉格朗日的难以捉摸的预解式而巧妙地应用了置换群这一工具，他不但证明一般代数方程。当n≥5时不可能用根号求根，而且还建立了具体数学系数的代数方程可用根号求解的判别准则，并举出不能用根号求解的数字系数代数方程的实例。这样，他就透彻地解决了这个长达二百多年来的时间使不少数学家伤脑筋的问题。不仅如此，伽罗华所发现的结果。他的奇特思想和巧妙方法，现又成为全部代数的中心内容。在这一点上说，他作为抽象代数的创造人之一是当之无愧的。他的贡献决不限于解决代数方程根号求解的问题。
随着时间的推移，伽罗华的卓越贡献越来越为数学家所认识。他的学术思想对近代数学产生了深远的影响：他开创的群论逐渐渗透到数学其它分支，以及结晶学，理论物理学等领域，群论给这些领域提供了有力的数学工具比如用群论证明了结晶体的类型只有230种，群论为诸如方程的根，晶体的结构，空间变换，基本粒子的对称性等课题的研究提供统一的方法。到20世纪，群论的概念在整个数学中占有重要的地位，成为现代数学的基础之一。
