)集合论
数理逻辑发展中形成的一个重要的分支，是现代各数学分支的共同基础。集合论是在19世纪70年代由G.F.P.康托尔创立的。它从集合的直观概念出发研究集合上的运算、顺序，特别是各种超穷数的性质，并用集合定义各种数学对象，使得全部数学都可以在该理论范围内展开。康托尔在建立集合论时没有使用公理化和形式化的方法，后来就将这种没有使用公理化和形式化方法的集合论称为朴素集合论。集合论的进一步发展是公理化集合论，它除了用公理化和形式化的方法处理朴素集合论的内容之外，更重要的是研究集合论形式公理系统的元数学性质──集合论的模型、各公理之间的关系、各系统之间的关系、各种不可判定语句，以及集合论研究过程中所提出的种种新方法和新问题。
公理系统 集合论的公理系统有很多，最常用的是由德国数学家E.策尔梅洛提出，后经A.A.弗兰克尔和J.von 诺依曼等人改进的一组公理，称为ZF系统。ZF系统的语言是带等词的一阶语言，唯一的非逻辑符号是二元谓词符号∈。它的非逻辑公理是：①外延性公理。该认为，如果两个集合的元素完全相同，它们就是同一个集合。其公式为凬x凬y【凬u(u∈x凮u∈y)→x=y】。②空集公理，存在一个没有元素的集合。其公式为 ヨx凬y【y唘x】，记为 ═。③对集公理，任给集合x、y，存在一个恰以x，y为元素的集合。其公式为凬x凬yヨz凬u【u∈z凮(u=x∨u=y)】。 该公理所确定的集合是唯一的，记作 {x,y}，{ x,x}简作{x}。④子集公理模式，也称分离公理模式。任给集合x和含自由变元u的公式 ψ(u),存在一个由 x 中那些满足ψ 的u组成的集合，其公式为凬xヨy凬u【u∈y凮u∈x∧ψ(u)】。⑤并集公理，任给集合x，存在一个恰由x的元素的元素组成的集合，记作∪x。其公式为凬xヨy凬u【u∈y凮ヨυ(υ∈x∧u∈υ)】。⑥幂集公理,任给集合x,存在一个恰由x的全体子集组成的集合，记作∮(x)。公式为凬xヨy凬u【u∈y凮u吇x】。⑦无穷性公理，存在一个无穷集合，其公式为ヨx【ψ∈x∧凬y(y∈x→y∪{y}∈x】。 ⑧替换公理模式（见子集公理模式）。⑨正则公理，即对每个非空集合x,存在y∈x使y与x没有公共元素。其公式为 凬x【x厵ψ→ヨy(y∈x∧y∩x=ψ)】。由于有子集公理模式和替换公理模式,所以ZF系统是无穷多条公理,不能被有穷公理化。如上9条公理不彼此独立，只是为了研究各种弱系统的方便，才把它们作为公理列出。ZF系统和选择公理AC组成的系统记作ZFC（见选择公理）。
另一个比较常见的集合论公理系统是由诺依曼提出，并由P.贝奈斯完成的。这个系统由于K.哥德尔的使用而流传开来,所以被称作GB系统。该系统也是一阶理论,它只比ZF多了一个一元谓词符号M。它的个体称作类，其中满足M(x)的个体称作集合。GB系统只有有穷多条公理，它是ZF系统的保守扩充，也就是说一个ZF语句在GB中可证当且仅当它在ZF中可证。
运算和推演 利用ZF系统中的①～⑥条公理，可以定义集合上的各种运算,包括交(∩x(x≠ψ))、差(x-y)、有序对(〈x,y〉={x,｛x,y｝})、卡氏积(x×y={〈u，υ〉｜u∈x∧υ∈y})，等等。有序对组成的集合称作关系，单值的关系称作函数。设R为集合A上的关系，满足自反性、对称性、传递性的R称作A上的等价关系；满足自反性、反对称性、传递性的R称作A上的偏序；满足不对称性、传递性和可比较性的 R称作 A上（严格）线序。如果 R是A上的严格线序且 A的每个非空子集有R最小元，则称R为A上的良序；如果 x的元素的元素仍是 x的元素，则称 x是传递集。通过这一系列概念就可以定义自然数、整数、有理数、实数等数学对象并展开运算。如把自然数概念推广，就可以得到有序数和基数这两种超穷数的概念。如果x是传递集并且∈是x上的良序，就称 x是序数。自然数都是序数，叫做有穷序数； ω也是序数；如果a是序数则S(a)=aυ｛a｝也是序数,称作a的后继；不是后继的序数叫做极限序数，例如0, ω等等。全体序数组成的类不再是集合,这个类记作on,定义序数间的 <关系为∈。这样，每个序数恰好由小于它的全部序数组成，而每个良序集都与唯一的一个序数同构。有了序数就可以建立超穷归纳原则，即对每个性质P，凬a (凬β(β<a→P(β))→P(a))→凬aP(a)，利用替换公理，就可以证明超穷递归定理。设G是在全体集合上有定义的运算,则存在运算F对应于一切序数a，且F(a)=G(F妿a)。
根据超穷递归定理可以定义序数上的加法、乘法和幂运算。
在集合论中，序数的运算反映了良序集的迭加，如果序数a不能与比它小的序数建立一一对应，则称a为初始序数。每个有穷序数都是初始序数，而ω 是第一个无穷初始序数，其后的初始序数依次记为ω 1,ω 2...,ω W,...。每个良序集都能与唯一的一个初始序数建立一一对应，因此，可以把初始序数定义为良序集的基数。如果承认AC，则每个集合都可良序，初始序数也就是全部的基数。自然数都是基数，称作有穷基数,ω,ω 1,ω 2,...作为基数时常写作N0,N1,N2,...如果X能与基数k一一对应，则称k为X的基数，记作｜X｜=k；如果X能1-1地映入Y,则称｜Y｜；如果X能与Y一一对应,则称｜X｜=｜Y｜。根据伯恩斯坦定理（｜X｜≤｜Y｜且｜Y｜≤｜X｜,则｜X｜=｜Y｜）,──知≤是基数间的偏序关系;根据康托尔定理，｜X｜<∮(X)没有最大的基数,全体基数的类也不再是集合。
在基数上可以定义加法、乘法和幂运算，它们分别反映了并集、卡氏积、映射集的基数。基数运算和序数运算限制在自然数上是完全相同的，但在超穷部分则完全不一样。作为序数运算ω + ω >ω，但作为基数运算则埲+埲=埲。集合论在研究基数时,通常都假定AC。因为，如果没有AC,只能证明很少几条关于基数的重要定理,特别是对大于N的基数运算得不出什么规则，而有了AC就可以建立一大批简单的运算规则。基数运算还要涉及到正则公理。正则公理的作用在于排除了如同满足x∈x或x∈y∧y∈x的集合，也排除了无穷递降 ∈链的可能性。这一切对定义各种数学对象并无影响，不过由于利用正则公理建立的累积分层能使集合论的模型论研究大为简化。而且，由于正则公理建立了秩的概念，从而有可能在没有AC的情形下也能把基数定义为集合。因此，如果没有AC又没有正则公理，就无法在ZF系统内定义基数概念。
新的研究进展 由于几乎全部数学都可归约为集合论，所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题。但根据哥德尔的不完全性定理，却无法在ZF系统内证明自身的一致性。此外，一些重要的命题，如连续统假设CH（见连续统假设）也是在ZF中不可判定的。寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF，以期在扩充后的系统中判定这些命题，就成了公理化集合论研究的两个出发点。1963年，美国学者P.J.科恩创立力迫法，从而证明了集合论中的一大批独立性问题。此后的20多年中，集合论研究者一方面推广和改进科恩的力迫法，如提出迭代力迫、真力迫等新概念和新方法；一方面则将这些方法应用于具体的数学领域,如拓扑学,以证明该领域中的某些命题是不可判定的。与此同时，对大基数的研究也十分引人瞩目。因为在扩充ZFC系统的各种尝试中，大基数公理多少还算直观。引入大基数之后，需要讨论各种一致性和独立性问题，而且要构造各式各样的模型，因而也就离不开力迫法。由于很多大基数,例如拉姆塞基数和洛波托姆基数,可以看作是N的某些组合论性质的推广，从而又推动了无穷组合论的研究。70年代以来，由于发现决定性公理（见选择公理）和大基数公理及无穷组合论有密切联系，于是这两个方向的研究就交织在一起。此外，随着新概念、新方法的引入,停滞了几十年的描述集合论也重新活跃起来，使一大批长期悬置的问题得到解决或有了某种新的进展。不过由于描述集合论的研究方法与递归论颇多相似之处，所以也有人把它归入递归论范畴。
参考书目
Thomas Jech,Set Theory,Academic Press,New York,1978.
A.A.Fraenkel, Y.Bor-Hillel, A.Levy, Foundationsof Set Theory, 2nd ed., North-Holland Publ. Co., Amsterdam,1973.
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。十七世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。
罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。
这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。
1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。
与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。
公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献。”
