)连分数
繁分数
，用熟知的辗转相除法，可展成有限连分数即
，其中α0,α1,…,αN是辗转相除法中依次得到的不完全商，规定αN>1，则表法惟一。如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表一无理数。 渐近分数和完全商 在连分数【α0，α1,…,αn,…】中取
,叫做连分数【α0,α1,…,αn,…】的第n个渐近分数。 定义αń=【αn,αn+1,…】为连分数【α0，α1,…,αn,…】的第n个完全商。 渐近分数有如下简单关系：
①
②
③(pn,qn)=1和qn≥n (n≥2)
④
存在；⑤设α =【α0,α1,…,αn,…】,n≥1，0<q≤qn，且
，则
,故在分母不大于qn的诸分数中, 
与α最接近；⑥设α=【α0,α1,…,αn,…】,则
；反之，若有一个有理数
适合
，则
必为α的某个渐近分数。 完全商有如下简单性质：①
,一般地,
；②αn=【αń】，n=0，1,2，…，由此可推出实数展成连分数时表法惟一。该实数为有理数时，规定最后一个αN>1。 循环连分数 设α=【α0,α1,…,αn,…】,如果l≥m时，对某个固定的正整数k,有αl=αl+k,那么这样的连分数叫做循环连分数，这种最小的 k叫做它的周期，记为
。例如 
等。运用渐近分数、完全商的性质以及抽屉原理,J.-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦然。 当D>0且不是平方数,则
，其中函数【x】表示不超过x的最大整数。此外，设佩尔方程x2-Dy2=1的最小解为ε，则
的周期k满足
。 应用举例 连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α 的三个连续渐近分数中必有一个适合
。由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数
。式中
是最佳的,即设
，则必有一无理数α，使
不能有无穷多个解，如
就是这样一个数；②设D>0且不是平方数,
之连分数展开式中αń可表为
，此处Pn及Qn皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)n-1Qn=1,则x=pn-1,y=qn-1是佩尔方程x2-Dy2=1的最小解;③利用连分数可以证明数论中一个著名的定理：设素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面，如求多项式的根的近似值，等等。
