)赫斯特指数
赫斯特指数洪水过程是时间系列曲线，具有正的长时间相关效应。即干旱愈久，就可能出现持续的干旱；大洪水年过后仍然会有较大洪水。这种特性可以用赫斯特指数来表示。
对局域网和广域网上大量突发网络流量的分析结果表明,网络流量普遍存在着自相似性和长相关性,其中赫斯特指数是表征网络流量突发性的重要参数。以小波提升框架为基础,结合相关系数分析法,给出了自适应的赫斯特指数估计方法,与传统的小波估计法相比,该法执行原位计算,使计算复杂性减少了约一半,同时该方法在一般意义上是无偏的。分形高斯噪声和真实突发网络数据的仿真结果均表明,自适应方法比传统估计方法具有更高的估计精度,能够自适应地选择最优尺度区间,因此可望应用于高速网络的网络管理和实时控制。
赫斯特指数的思路是：设Xi=X1,…Xn为一时间序列的n个连续值，取对数并进行一次差分后的数据划分为长度为H的相邻的子区间A，即A*H=n。则：每个子区间的均值为： Xm=(X1+…+Xh)/H
赫斯特指数
均值的累积横距(XKA)为：
组内极差为： Rh=max(Xr,A)-mix(Xr,A) 赫斯特指数(H)为：
Hurst推出的关系为：
其中c为常数，n为观察值的个数，H为赫斯特指数。 赫斯特指数有三种形式： 1．如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述； 2．如果0.5
如果确定时间序列为长期记忆过程(即计算得出的赫斯特指数为0.5
人们作过试验，用计算机产生一个随机时间系列曲线，利用均匀随机数给出随机系列，计算它们的赫斯特指数指数，其值接近0.5。如果把尼罗河流量时间系列打乱，再进行R/S分析，得到的赫斯特指数指数值也接近0.5。说明没有时间相关性的随机时间系列曲线的赫斯特指数指数为0.5，R/S分析是分析时间系列曲线相关性的有效方法。也是得出时间系列曲线的分维D(D=2-H)的有效方法。赫斯特指数还对多种自然现象的时间系列曲线进行了R/S分析，如河湖水位H=0.72，降雨量H=0.70，泥浆沉积H=0.69，温度H=0.68，气压H=0.63，日斑指数H=0.75，树木年轮H=0.80。这些现象平均H=0.726。大多数河流的H为0.65到0.80之间，都具有正效应，表示未来的趋势与过去一致，H愈接近1，持续性愈强。当H<0.5时，序列具有负效应，表示未来的趋势与过去相反，H愈接近0，反持续性愈强。水文序列的所谓正效应，即干旱愈久，就可能出现持续的干旱；大洪水年过后仍然会有较大洪水。洪涝干旱与地区的气象、土壤、地质等自然地理条件有关，但赫斯特指数指数显示出洪涝干旱具有变化的长程效应。在我省频繁出现的洪旱灾情也具有这种特点，至于相关的规律性，尚需进一步深入研究。 R/S分析法计算简单，统计三个参数，均值 ，均方差，极差，用手工的方法确定赫斯特指数指数(关系线的斜率)。适宜有时间序列观测资料的年轻科技人员进行研究。
分形理论的创始人美籍法国数学家Mandelbrot1967年在美国《科学》杂志上发表了“英国的海岸线有多长”的划时代的论文。1975年他出版了分形几何的第一部著作《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。分形是用以描述那种不规则的、破碎的、琐屑的几何特征。分形是相对于整形而言的，它的基本特征是不可微性、不可切性、不光滑性，甚至是不连续性。
很多学者研究了中国股票市场的混沌特征，不仅说明了股市运行过程中的混沌特征，而且还给出了混沌特征的数量指标。但他们并没有给出混沌吸引子的结构，而它却是混沌状态的基本特征，是描述混沌的基本工具。混沌吸引子具有分形结构，混沌与分形是密切相关的。本论文以上海股市为例，来分析中国股票市场的分形特征。
中国股市具有复杂的混沌结构，而且我们还给出了股票指数收益率序列的混沌结构的数量指标。“这些数量指标都是混沌度的特征指标”。混沌的另一个特征是具有混沌吸引子，吸引子是一个分形，而分形维是刻划分形最重要的指标。分形维数有多种定义，两种最常用的分形维数是豪斯道夫(Hausdorff)维数和盒维数。1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理论和相空间重构技术，提出了从时间序列直接计算关联维数的算法。本文也是用此法来计算中国股市混沌吸引子的分形维。设{xk:k=1,…N}是观测某一系统得到的时间序列，将其嵌入到m维欧氏空间中，得该空间中的点集，其元素为：xn(m,τ)=(xn,xn+τ,…,xn+(m-1)τ),n=1,…Nm，其中：Nm=N-(m-1)τ。从Nm个点中任选一个点xi计算其余每个点到该点的距离rij，对所有xi(i=1,…，Nm)重复这一过程，可得到关联积分函数，其中的H(x)当x>0时取1，当x≤0时取0，关联维数D为当r→0时函数logCm(r)/logr的极限。
Grassberger和Procaccia证明了当嵌入维数大于分形维时，所求的分形维不因嵌入维数的增加而增加。Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。当H＝0.5时，时间序列就是标准的随机游走，即在EMH下出现的状态。当0.5
对股票价格形成的时间序列xt，分为A个长度为N的等长区间，对于每一个子区间，令X(a,t)=∑(xN(a-1)+i-Ma)，i=1,…t。其中，X(a,t)为第a个区间的累积离差，xN(a-1)+i为区间a的第i个观测值，Ma为区间a的平均值，t=1,2,…N。对于每一个子区间，可得到N个累积离差，N个离差中的最大值和最小值之差即极差R=Max(X(a,t))-Min(X(a,t))。为了比较不同类型的时间序列，赫斯特用每个区间所测得的标准差去除极差，得到“重标极差”，并且有R/S=(bN)H………1）。
其中，R/S表示重标极差，N为区间长度，b为某一常数，H为赫斯特指数，且0≤H≤1。 对每个子区间计算R/S，可得A个R/S，求出这A个R/S的平均值，可得出用N来等分时间序列下的R/S估计值。用不同常数N来等分，便可得到不同的R/S。根据R/S随N的变化关系，可研究时间序列不同时段的统计特性，由ln(R/S)相对于lnN的函数变化斜率得出赫斯特指数H。
对1）式两边取对数，得ln(R/S)=Hln(N)+ln(a)。由ln(R/S)相对于ln(N)的斜率便可估计出H。通过ln(R/S)-ln(N)图，很容易观察出赫斯特指数在何处发生突变，并进一步估计出周期长度，一般用统计量V(N)=(R/S)/来估计周期长度。对于独立随机过程的时间序列，统计量V-ln(N)图是平坦的;对于具有状态持续性的过程，该图向上倾斜；对于逆状态持续性（H<0.5）的过程，向下倾斜。故根据V-ln(N)图可判断时间序列某一时刻的值对后面观测值的影响时间长度界限。
运用分形理论，选取上证综合指数日收盘值的对数收益率序列，对上证股票市场结构进行实证分析。选取从1990年12月19日至2003年10月19日的数据作为分析的基础，然后计算对数收益率样本时间序列X(n)，n=1,2,……3234。为了计算关联积分和关联维数，我们先针对时间延迟重构m维相空间。这里我们选取=5，而嵌入维数m分别取2，3，4，5，……等正整数。按照G-P算法计算关联积分C。我们将关联积分和距离r分别取自然对数，然后以lnr为横轴，以lnC为纵轴将其绘成图。存在一个关联积分lnC(r)对度量尺度ln(r)的线性依赖区域，表明在该区域中维数的定义被很好地满足了，而这些直线段的斜率就是关联维数的估计值。在实际操作中，我们调整嵌入维数m，随着m的增大，关联维数趋于饱和，即直线趋于平行，斜率趋于相等。我们利用最小二乘法去估计这些直线的斜率，得到关联维数的结果。上述结果表明，上证指数收益率序列的关联维数为3.06，其饱和嵌入维数为10。这些结果还表明中国的股票市场是一个具有分数维结构的低自由度混沌系统，股票收益率的变化遵循着某种确定性的规律。上证市场日收益率序列的分形维数在3到4之间，虽然中国证券市场的运行系统很复杂，决定中国证券市场的运行的因素非常多。但由于分形维代表了决定系统的混沌吸引子的自由度，说明该系统最终将收缩到维数为3至4之间的吸引子上，即决定这一复杂系统的本质因素只有4个，需要的基本变量数目在4个到10个之间，且主要变量有4个。
以上证综指日收盘值的对数收益率序列为例，对上证股票市场结构进行分析。按照前述方法进行计算，将序列进行分组，每组有5个元素。图2给出了日收益率序列的ln(R/S)-ln(N)双对数图。在横坐标取5.01之前，数据几乎在一条直线上，对ln(R/S)-ln(N)进行回归计算，得出H的值为0.683，大于0.5，说明上证综指的波动不是随机游走的，而是有偏随机游走，即具有持久性。当指数上一个时刻是上升（下降）的，则下一个时刻上升（下降）的可能性比较大。而从相对长的时间跨度来看，日收益率序列H指数明显下降，接近0.5，即基本遵循随机游走。再考察V-统计量，它的定义为V(N)=(R/S)/。如图3，在横坐标为5.01附近明显出现转折，而此数值是取对数得到的。转换成天数为exp(5.01)，即大约150天。在150天循环中，上证综指的波动具有明显的持久性。超过150天，持久性减弱，系统的特征明显改变。
利用G-P算法估计了证券指数收益率序列的混沌吸引子的分形维是介于3到4之间，表明市场在局部的随机性的背后具有全局决定性，即证券市场的运行系统最终会收敛于四个变量决定的混沌吸引子。Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。通过实证分析得到上证综指的H指数为0.683，大于0.5，说明上证综指收益率序列具有明显的持久性。
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[1] 什么是网 http://define.cnki.net/WebForms/WebDefines.aspx?searchword=%E8%B5%AB%E6%96%AF%E7%89%B9%E6%8C%87%E6%95%B0
[2] 云南省水利厅 http://www.wcb.yn.gov.cn/end/index.jsp?Info_ID=3451
