)规范场论
规范场论规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。
这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性，有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。
规范场论模型1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。
1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。
电路接地
规范场论标量 O(n)
局部规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且它导向原来不相互作用的场之间的相互作用。考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。拉格朗日量是通过引入一个场的矢量，现在很明显地，只要G是一个常数矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒。其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
现在，要求这个拉格朗日量必须有局部O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，这意味着定义一个有如下属性的“导数”D可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。规范场在一点的取值是李代数的一个元素，所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。最后，我们有了一个局部规范不变拉格朗日量，泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。
费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量。这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的。
电动力学
产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是该系统的全局对称性是规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。一个合适的共变导数是将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量。其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。
规范场论若我们有一个主丛P其基空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为其中d代表外微分而代表楔积。无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，一个有趣的结果是，其中D是共变导数而且，这意味着F共变地变换。需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当基流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。
光子与量子场论方法和目标
第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。
量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。
反常
一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括：共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。 手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。 在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个质子。规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。
相对论“量子场论”作为描述亚原子世界的最成功的物理框架不论在计算能力还是在概念覆盖范围上都是无以伦比的。它对电子跟光子之间相互作用的预计精确到10<8>分之一，而且它能准确解释宇宙中四种已知基本力中的三种。量子场论作为亚原子力的成功理论今天主要体现在所谓的标准模型中，事实上，目前没有从标准模型中推导不出的已知实验(引力除外)(Michio kaku1993)。正是由于规范场论的成功，理论物理的处境，已经从找不到一个理论框架来理解实验数据的局面，转变成如果物理学家提出的理论比标准模型还新那么就会超出目前的实验技术水平而得不到检验的局面。可见，规范场论在人类认识史上一定前进了一大步，一定有其深刻的形而上学基础、重大的认识论意义和科学方法论意义。
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[1]中国论文网 http://www.studa.net/keji/081103/13133935-2.html
