)西尔维斯特-加莱定理
摘要：
西尔维斯特–加莱定理（Sylvester–Gallai theorem）说明若在平面上有有限数目的点，点的数目多于2，它们不是全部共线，就是有一条线上刚好有两点。也就是说，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点共线。 西尔维斯特–加莱定理（Sylvester–Gallai theorem）说明若在平面上有有限数目的点，点的数目多于2，它们不是全部共线，就是有一条线上刚好有两点。也就是说，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点共线。
提问 编辑摘要这个定理在无限点的情况并不成立，可以考虑格点Z*Z。
以下使用无穷递降法：
在平面上有有限多点，若它们都共线，那我们就找到想要的东西；若非，定义一条“连线”为一条连起来至少有两点的线。设I为一条连线，因为不是所有点都共线，至少有一点P不属于I。
若I不是有刚好两点，I便至少有三点，称为A,B,C。不失一般性，设B在A和C之间，因为，所以两只角不可能同时是钝角。不失一般性设不是钝角，而是锐角或直角。
证明设连结C和P的线为m，m是不包括B的连线，而且B和m的距离比P和I的距离小。
以B和m取代第二步的P和I。这个动作不可能无穷次重复，因为若能无穷次重复，连线和某一不在连线上的点距离便会得出一个无穷递降的序列，但只有有限个点和有限条连线，这是不可能的。因此，至少有一条线刚好有两点。
Dirac的猜想的反例。这个定理说明了在所有点至少有一条线有刚好两点。在什么情况下，只有一条线有刚好两点呢？没有的这样的例子。Dirac猜想在平面上若有n点，则有至少有n/2条线有刚好两点。
可惜这个猜想是不对的。但截至2006年，已知有两个反例：
一个等边三角形的三个顶点、各边的中点和三角形中心，共有7点，但只有三条线有刚好两点。
两个大小相等的正五边形，其中一边重叠。取这两个五边形的所有顶点（8点），加上重叠边的中点（1点），再加上取四组平行线上的无限远点（4点）。该四组平行线分别是跟重叠边成0°、90°、+36°和-36°的。在经过这13点的线中，只有6条线有刚好两点。虽然Dirac的猜想不对，但有较弱的结果：在n点中，至有有条线刚好有两点通过。
推广Beck定理则说明了，存在常数C,K，使以下其中一个论述为真：
有一条线有n/C点。
至少有n2/K条线，线上至少有两点。
1893年，詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将此问题提出。保罗·艾狄胥也曾在1943年独立提出这个定理。1944年蒂博尔·加莱发表了的证明。 不过，1940年E. Melchior已证明了。
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取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%A5%BF%E7%88%BE%E7%B6%AD%E6%96%AF%E7%89%B9-%E5%8A%A0%E8%90%8A%E5%AE%9A%E7%90%86&variant=zh-cn"
