所属分类： 循证医学 数学 数学术语 统计学术语

目录 [隐藏]

• 1 行列式
• 2 正文
• 3 配图
• 4 相关连接

 

　　重要的数学概念和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n²个元素（数）α_ij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成

(1)

的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：
　　① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为

,

式中p₁,p₂,…,p_n是1,2,…,n的一个排列。
　　② 每项应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p₁p₂…p_n)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α₁₂α₂₃α₃₁排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前,所以α₁₂α₂₃α₃₁应带正号；而α₁₂α₂₁α₃₃中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。
　　(1)称为n阶行列式,有时简记为｜α_ij｜，其中α_ij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即α_ii,称为主对角线(α₁₁α₂₂…α_nn)上的元。
　　因为n个元的所有排列共有n！个,所以｜α_ij｜共有n！个项。由此可知，

式中是对1,2,…,n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，
　　行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有归纳定义和公理化定义等。
　　行列式的基本性质  任一行列式都有以下性质:①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式A^T(A^T的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|α_ij|中某行 (或列) 则｜α_ij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b₁,b₂,…,b_n；另一个是с₁，с₂,…,с_n；其余各行（或列）上的元与｜α_ij｜的完全一样。④ 行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
　　行列式的计算 　简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：

式中是从|α_ij|中划去第i 行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式,称为α_ij的余子式；A_ij称为α_ij的代数余子式。在上式中把 A_it(或A_ti)换成A_jt(或A_tj)，i≠j,即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成：

式中δ是克罗内克符号。δ 表示当i=j时,δ_ij=1,i≠j时，δ_ij＝0。
　　上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由A.-L.柯西于1812年首先证明。
　　k阶子式的代数余子式是上述 1阶子式α_ij的代数余子式A_ij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式,则M称为N的余子式。如果N 所在的行是i₁,i₂,…,i_k,所在的列分别是j₁，j₂,…,j_k，那么称为N 的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N 所在行的序数与所在列的序数相同,则N 称为主子式。
　　某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式

　　范德蒙德行列式 　用数学归纳法可以证明范德蒙德行列式

显然,一个范德蒙德行列式为零的充分必要条件是x₁,x₂,…,x_n中至少有两个相等。
　　行列式的乘积 　根据拉普拉斯展开式，两个 n阶行列式｜α_ij｜与｜b_ij｜的乘积是n阶行列式｜с_ij｜,即

式中

　　设A＝｜α_ij｜是一n阶行列式，则A的伴随行列式是

式中A_ij是α_ij的代数余子式。
　　行列式的应用 　克莱姆规则是用行列式求解线性方程组的一种方法。设有线性方程组

　　 　(2)

如果它的系数行列式

那么它有惟一解

x_i=D_i/D　(i=1,2,…,n)， (3)

式中D_i是将D中第i列中元素α_i1,α_i2,…,α_in分别用b₁，b₂,…,b_n替换得到的行列式。
　　平面解析几何中过两点(x₁，y₁)和(x₂,y₂)的直线方程可用行列式表达如下：

三条直线两两互异,交于一点的充分必要条件是

以(x₁,y₁)、(x₂,y₂)和(x₃ ,y₃)三点为顶点的三角形的面积是

的绝对值。特别地，以(0,0)、(x₁,y₁)、(x₂,y₂)为顶点的三角形的面积是

的绝对值。因此以向量(x₁,y₁)、(x₂,y₂)为边的平行四边形的面积是

的绝对值。这一结论可以推广为:n阶行列式(1)的绝对值可以看作是n维欧几里得空间中以n个向量(α_i1,α_i2,…,α_in)(i=1,2,…,n)为边所张成的超平行六面体的体积。此亦即行列式(1)的几何意义。
　　设n维欧几里得空间中有一个变换

函数行列式

称为雅可比行列式。当J≠0时，则下面的积分变量变换公式成立：

式中G是n维欧几里得空间内有确定面积的有界域，B是G的像。雅可比行列式给出了体积元和之间的联系

它在隐函数论的研究中也是不可缺少的。
　　上面行列式|α_ij|中的元 α_ij假定都是数；如果α_ij都在一个域中，上面得到的结果仍能成立。1943年，迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文，在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论，大致具备上述行列式基本性质，并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。
　　历史上，最早使用行列式是在17世纪G.W.莱布尼茨与G.-F.-A.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念及其符号，但他的某些思想却来自C.F.高斯。

 

 

讨论区

更多>>

标题	作者	时间	最后回复

• 标题：
• 内容：
• 用户名：匿名发表 登录| 注册
• 验证码：
•   看不清？换一个！