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• 1 绝对形
• 2 正文
• 3 配图
• 4 相关连接

 

　　通常理解为射影空间(或平面)中一个二次曲面（或曲线），它确定射影几何的某个子几何的图形性质。
　　扩大欧氏平面上的绝对形 　设在扩大欧氏平面上引进齐次坐标(x₀,x₁,x₂),(见射影几何学),并假定x₀,x₁,x₂是复数,这样的欧氏平面叫做复欧氏平面。当比值x₀:x₁:x₂都是实数时,(x₀,x₁,x₂)代表实点,否则代表虚点。平面上任意圆和无穷远线交于两个无穷远共轭虚点I₁(0,1,i)，I₂(0,1,-i)，称为无穷远圆点，容易看出，平面上一条二次曲线为圆（包括半径等于零的点圆）的充要条件是它经过无穷远圆点I₁,I₂。
　　一条经过I₁或I₂的非无穷远直线的斜率依次是-i或i,这样的直线叫做迷向直线，平面上一切迷向直线构成分别以I₁与I₂为中心的两个平行线束。容易验证:①在迷向直线上，任意两点的距离是零（根据通常的欧氏平面距离公式）；②每一条迷向直线相对于任意其他（非无穷远）直线都有相同的斜率。
　　已给平面上经过一个非无穷远点P的两条直线α，b，设它们的斜率依次是λ，μ,再设m₁,m₂为经过P的迷向直线，则交比

，

但若用θ表示由α到b的角，0≤θ≤π，则

。

由以上两式容易推得

，　　 (1)

这个公式叫做拉盖尔公式，特殊地，α,b垂直的充要条件是(α,b；m₁,m₂)=-1，即α,b和迷向直线成调和组。
　　另一方面，不难验证，平面上一个实射影变换为相似变换的一个充要条件是:它把点偶I₁,I₂变成自己。用解析方法表示，这就是令

　　 　　　 (2)

保持不变:当这个相似变换令I₁,I₂分别保持不变时（这时变换方程中x₁,x₂的系数行列式有正值）,它是一个正常相似变换,即它不改变平面的定向；当它把I₁,I₂对调时(这时变换方程中x₁,x₂的系数行列式有负值),它是一个正常相似变换和一个（对直线）反射之积。相似变换的另一个特征是：在它的作用下，任意两点的距离是相对不变量，即经过它，任意两点距离都乘上一个不等于零的常数。特殊地,如果上述距离是绝对不变量,相似变换就是全等交换，即正常或反常欧氏运动。
　　经过一个正常相似变换，式(1)左边的θ不变，但相似变换是特殊射影变换，因而经过它,式(1)右边的交比不变。式(1)表达了两个不变量之间的关系。
　　全等变换的另一个基本不变量是距离。可以证明，两点间的距离也可以通过这两点和无穷远圆点之间的射影关系表达。
　　式(2)则可以看作无穷远圆点I₁，I₂的点坐标方程，以I₁,I₂为中心的线束偶的线坐标方程是,或者

。　　　　　 　(3)

这是一个退化的线素二次曲线。由于(2)和(3)等价，线素二次曲线(3)或点偶(2)都可以称为扩大欧氏平面（或平面欧氏几何）的绝对形。
　　扩大欧氏空间的绝对形 　在扩大欧氏空间，一切球面都和无穷远平面交于一条虚迹二次曲线

，　　　 (4)

称为无穷远圆,而经过с^∞的一切二次曲面都是球面(包括半径等于零的点球)。和с^∞ 相交的非无穷远直线叫做迷向直线，和с^∞相切的非无穷远平面叫做迷向平面。一切迷向平面以及无穷远平面构成面素二次曲面

。　　　　　　 (5)

式(5)或с^∞,就是扩大欧氏空间（或空间欧氏几何）的绝对形。把绝对形变成自己的一切空间射影变换构成空间相似变换群。空间全等变换群或运动群是空间相似变换群的子群。
　　一个非无穷远实平面和无穷远圆的两个交点就是该平面上的无穷远圆点(该平面上的绝对形)。于是根据上节所说，空间的两条直线间的角和两点间的距离也都可以依次通过这两条直线和两点同它们同绝对形(4)或(5)之间的射影关系表达。
　　非欧空间的绝对形 　两种非欧几何以及闵科夫斯基几何都是射影几何的子几何，在其相应的空间里也都分别有其绝对形。
　　例如椭圆空间，双曲空间和闵科夫斯基空间的绝对形依次是,和。通过这些绝对形，可以分别把其相应几何中的度量性质赋予射影解释。
　　到n维的推广 　一般地，在n维射影空间P_n里取一个二次超曲面，令不变的射影变换构成P_n里射影群的一个子群,这个子群以及属于它的射影几何的子几何(见埃尔朗根纲领)都被完全确定;就叫做该子几何的绝对形。理论上，任意图形（属于该子几何）的性质都决定于该图形和的射影关系。
　　进一步的推广 　设G 为作用于空间S 的一个变换群，为S里一个图形，变换群G中令不变的一切变换构成G的一个子群G₁，就是那个属于G₁的子几何的绝对形，在该几何中，图形的性质都决定于的选择。
　　参考书目
　孙泽瀛著：《近世几何学》，高等教育出版社，北京，1959。

 

绝对形 配图

       

 

绝对形 相关连接