所属分类： 数学术语

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• 1 素数分布
• 2 正文
• 3 配图
  • 3.1 素数表
• 4 相关连接

素数的三种分布：作者：王敏

一. 作出70平方(4900)以内的素数表(详见下面素数分布-配图内的表).它与一般的素数表不同,它以平方数为界,以便判定:

  1.在(n+1)²-n²中必有素数.

  2.n≤ π(n²),并且π(n²)增速比n远远快的多.

二. 通过对哥德巴赫猜想的初等数学的证明,得到了素数对于偶数的对称分布:

   　凡＞６的偶数E都可以表示为 :
   P1P2=（E/2－Q)（Ｅ/2＋Ｑ）　　（当Ｅ/2=偶数）或 
   P1P2=（E/2－e）(E/2+e) (当Ｅ/2=奇数) 

    p1+p2=偶数,步长为Q或e.

详见本网站:哥德巴赫猜想>哥德巴赫猜想-成绩

三.列出了一个>3的奇数的函数集:f(n)=n(n-1)+p来包含>3的奇素数集P.

         令p1=3

         则: ＜Ｎ的素数分布在：ｎ（ｎ－１）＋ｐ＜Ｎ（１＜ｎ≤ｐ－１，ｐ为素数）中．

          因为n(n-1)是奇偶相乘,必为偶数,而偶奇相加必为奇,

          又因为步长为2,6,12,20,30...,步长间距4,6,8,10....

           因此它是一个奇数的函数集.

 注意:(1)奇数函数集不但包含f(n)奇素数集,还包含奇合数,见带下划线部分.

         (2)此函数不如2n-1简洁明了.但有时会碰到,故而列出,开阔一下思路而已.

又:我们有素数公式; 

       当p=3, 5, 11, 17, 41时,     P=n(n-1)+p    (1 < n < p-1)

       例如;当p=5,      2×1+5=7,  3×2+5=11, 4×3+5=17.

       当p=17,p=41,详见华罗庚<数论导引>

　　数论中研究素数性质的一类重要问题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。例如,2,3,5,7,11,13,17,19都是素数。大约在公元前300年,欧几里得就证明了素数有无穷多个。设2,3,…,p是不大于p的所有素数,q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p 的倍数。由于q的最小正除数一定是素数,因此，或者q本身是一个素数,或者q可被p与q之间的某个素数所整除。所以必有一个大于p 的素数存在，由此即知素数有无穷多个。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。人们至今没有找到，大概也不可能找到一个可以表示全体素数的有用公式。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。现有的较完善的素数表是D.B.扎盖尔于1977年编制的，列出了不大于50000000的所有素数。从素数表可以看出：在1到100中间有25个素数,在1到1000中间有168个素数,在1000到2000中间有135个素数, 在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数,在4000到5000中间有119个素数,在5000到10000中间有560个素数。由此可看出，素数的分布越往上越稀少。目前所知道的最大素数是2²¹⁶⁰⁹¹－1(见梅森数)，它有65050位,是1985年发现的，在证明它是素数时需用特殊的方法并借助于电子计算机。关于素数分布性质的许多著名猜想，是通过数值观察、计算和初步研究提出的，大多数至今仍未解决。其中最著名的猜想有以下几个：
　　孪生素数猜想 　两个差等于2的一对素数,称为孪生素数。例如,3和5;5和7;11和13;17和19;29和31;41和43；59和61;71和73;101和103;…;10016957和10016959；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是1159142985×2²³⁰⁴-1和1159142985×2²³⁰⁴ 1；它们是A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年得到的。所谓孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大。在这方面的最好结果是陈景润于1966年得到的：存在无穷多个素数p，使得p 2是不超过两个素数之积。
　　素数定理 　关于素数个数的研究是素数分布中最重要的问题之一。以 π(x)表示不大于x的素数个数，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。欧几里得早就证明了素数有无穷多个，即。从表可以看出：①x越大,π(x)与x的比值越接近于0；②x越大,π(x)与x/lnx的比值越接近于1。A.-M.勒让德和C.F.高斯猜测即通常所称的素数定理。它是素数分布理论的中心定理。在这方面首先做出贡献的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右证明了存在两个正常数с₁,с₂，使得不等式с₁x/lnx≤π(x)≤с₂x/lnx成立,其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿达马和C.J.de la瓦莱·普桑彼此独立而又几乎同时证明了素数定理。他们的证明都使用了高深的复变函数论知识。因此，能否以尽可能初等的方法来证明素数定理，则成为数学家一直探讨的重要问题。1949年，A.赛尔伯格和P.爱尔特希给出了素数定理的初等证明，除了极限、lnx和e^x的性质之外，没有用到其他的分析知识，但证明过程十分复杂。他们的证明是基于赛尔伯格的著名恒等式：当x≥1时有

式中表示对所有不超过x的素数求和，记号O的定义如下：设g(x)>0,ƒ(x)为一复值函数, α≤x≤b)。若存在一个与x无关的正常数M,使得当α≤x≤b)时有|ƒ(x)|≤Mg(x),则记为ƒ(x)=O(g(x)),M称为记号O所含之常数。于是某一满足上述条件的函数ƒ(x),就可用O(g(x))代之。
　　有误差项的素数定理是指寻求误差π(x)-lix的最佳估计,,它比x/lnx更接近于π(x)。C.J.de la瓦莱·普桑于1900年首先证明了这里с是一正的常数。H.von科赫于1901年在黎曼假设（见黎曼ζ函数）下证明了

O(x^1/2lnx)。

И.М.维诺格拉多夫等于1958年借助于他的三角和估计方法,得到π(x)-lix=O(xexp(-с(lnx)))，ε为任意正数，с是和ε有关的正常数。误差项π(x)-lix的变化是极不规则的。设ƒ(x)是实函数，如果存在与x无关的正常数α，使得任意大的x满足ƒ(x)>αx，则记为ƒ(x)=Ω (x)；若使得任意大的x满足ƒ(x)<- αx，则记为ƒ(x)=Ω_-(x)。若这两种情形同时出现，则记为ƒ(x)=Ω (x)。J.E.李特尔伍德于1914年证明了：当x→∞时，有π(x)-lix =Ω ((x^1/2lnlnlnx)/lnx)。
　　算术级数中的素数定理 　P.G.L.狄利克雷于1837年首先证明了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数。设整数q≥3.1≤l≤q，(l,q)=1。以π(x,q,l)表首项为l、公差为q的算术级数中不超过x 的素数之个数。类似于素数定理，对于固定的q，容易证明：

式中φ(q)表示不超过q且与q互素的正整数的个数。这就是通常所说的算术级数中的素数定理。关于误差项估计，A.佩奇于1935年和C.L.西格尔与A.瓦尔菲施于1936年证明了：对任意正数h，当3≤q≤(lnx)^h时，有

式中с为绝对正常数；记号O中所含的常数仅与h有关,而与q无关。
　　算术级数中的最小素数 　设k≥3,1≤l≤k,(l,k)=1。以p(k,l)表算术级数kn l(n=0,1,2,…)中的最小素数。S.乔拉猜测p(k,l)＝O(k)，其中ε为任意小的正数。ю.Β.林尼克于1944年首先证明了存在绝对常数с，使得p(k,l)=O(k^c)。潘承洞于1957年首先指出с是可以计算的，并定出了с的值。目前最好的结果с≤17是陈景润于1979年得到的。
　　相邻素数之差 　设p_n是第n个素数，是相邻的两个素数之差。在黎曼假设下,H.克拉默于1921年证明了 无条件结果 是赫斯－布朗和H.伊瓦尼克于1979年得到的。另一方面，关于d_n的下界，E.邦别里和H.达文波特于1966年证明了：M.N.赫胥黎于1977年改进为E ≤0.4425。猜测应有E＝0。关于d_n还有许多有趣的研究。
　　参考书目
　华罗庚著:《指数和的估计及其在数论中的应用》,科学出版社，北京，1963。
　K.Prachar,Primzahlverteilung,Springer-Verlag,Berlin,1957.
　M.N.Huxley,The Distribution of Prime Number,Clarendon, Oxford,1972.

 

 

素数表

4900以内素数表

n	n×n	p
2	4	2	3
3	9	5	7
4	16	11	13
5	25	17	19	23
6	36	29	31
7	49	37	41	43	47
8	64	53	59	61
9	81	67	71	73	79
10	100	83	89	97
11	121	103	107	109	113
12	144	127	131	137	139
13	169	149	151	157	163	167
14	196	173	179	181	191	193
15	225	197	199	211	223
16	256	227	229	233	239	241	251
17	289	257	263	269	271	277	281	281
18	324	293	307	311	313	317
19	361	331	337	347	349	353	359
20	400	367	373	379	383	389	397
21	441	401	409	419	421	431	433	439
22	484	443	449	457	461	463	467	479
23	529	487	491	499	503	509	521	523
24	576	541	547	557	563	567	571
25	625	587	593	599	601	607	613	617	619
26	676	631	641	643	647	653	659	661	673
27	729	677	683	691	701	709	719	727
28	784	733	739	743	751	757	761	769	773
29	841	787	797	809	811	821	823	827	829	839

 
30 911 853 857 859 863 877 881 883 887 907
31 961 911 919 929 937 941 947 953
32 1024 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021
33 1089 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087
34 1156 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151
35 1225 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223
36 1296 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291
37 1369 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367
38 1444 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439
39 1521 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511
40 1600 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597
41 1681 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669
42 1764 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759
43 1849 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847
44 1936 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933
45 2025 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017
46 2116 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113
47 2209 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207
48 2304 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297
49 2401 2309 2311 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2399
50 2500 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477
51 2610 2503 2521 2531 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609
52 2704 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699
53 2809 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801
54 2916 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909
55 3025 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023
56 3136 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121
57 3249 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229
58 3364 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359
59 3481 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469
60 3600 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593
61 3721 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719
62 3844 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833
63 3969 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967
64 4096 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093
65 4225 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219
66 4356 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349
67 4489 4357 4363 4373 4391 4397 4404 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483
68 4624 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621
69 4761 4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759
70 4900 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889

4900以内素数分布 

n×n    π(x)
4        2
9        4
16      6
25      9
36     11
49     15
64     18
81     22
100    25
121    30
144    34
169   39
196    44
225     48
256    54
289    61
324   66
361   72
400   78
441   85
484   92
529   99
576   105
625   113
676   121
729   128
784   136
841   145
911   154
961   161
1024  171
1089  180
1156  189
1225   199
1296   209
1369   218
1444   227
1521   239
1600   250
1681   262
1764   273
1849   282
1936   294
2025   305
2116   317
2209   327
2304   340
2401  353
2500  363
2610   374
2704   388
2809   403
2916   416
3025   429
3136   440
3249   452
3364   468
3481   482
3600   498
3721   514
3844   527
3969   544
4096   559
4225   573
4356   589
4489   604
4624   619
4761  637
4900   651

哥德巴赫猜想的初等数学证明了素数对偶数的对称分布详见本网哥德巴赫猜想栏.

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