)积分不等式
分析数学中常用到下列积分不等式。
杨不等式 设ƒ(x)是定义在【0, A】上满足ƒ(0)=0的严格单调增加的连续函数,ƒ-1(y)是ƒ(x)的反函数,则对任何
α∈【0,A】，b∈【0,ƒ(A)】，
有
特别，当ƒ(x)=xα(α>0)时，令
赫尔德不等式 设(X,φ,μ)是测度空间(见测度论)，E ∈φ，ƒ(x)、g(x)分别在 E上p 次、q次
可积，则 ƒ(x)g(x)在E上可积,并且 
argƒ(x)g(x)=θ , с1|ƒ(x)|p=с2|g(x)|q
在E上几乎处处成立。由积分的赫尔德不等式立即可得级数的赫尔德不等式：设
，则
绝对收敛，并且 
。
施瓦兹不等式 赫尔德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情况，此时的赫尔德不等式称为施瓦兹不等式,有时也称为柯西不等式或布尼亚科夫斯基不等式。它的积分形式、级数形式分别为
с1ƒ(x)=с2g(x)
在E上几乎处处成立和对一切自然数n，с1αn=с2bn。闵科夫斯基不等式 设(X,φ,μ是测度空间，E∈φ，ƒ(x)，g(x)都是E上p次(p≥1)可积函数，则ƒ(x)+g(x)在E上p次可积，并且
。
с1ƒ(x)=с2g(x)
在E上几乎处处成立；当p=1时，上式中等号成立的充要条件是，argƒ(x)=argg(x)在E上几乎处处成立。由积分的闵科夫斯基不等式，可得级数的闵科夫斯基不等式：如果
，p≥1，则 
延森不等式 设φ(x)是【α,b】上有限实函数,如果对任何x1,x2∈【α,b】以及任何正数p1、p2，都有
,而ƒ(x)是E上可测函数，并且α≤ƒ(x)≤b，则 
。
