)矩阵
称为m×n矩阵,记作A或
,也可记作(αij)或
。数
称为矩阵的第i行第j列的元素。当矩阵的元素都是某一数域F中的数时,就称它为数域F上的矩阵,简称F上的矩阵。当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵,此时α11,α22,…,αnn称为n阶矩阵的对角线元素，当所有的非对角线元素αij(i≠j)均为零时，A就称为n阶对角矩阵,简称对角矩阵。当对角线下面(或上面)的所有元素均为0时,A就称为上（或下）三角矩阵。 在m×n矩阵A中取k个行和k个列,k≤m，n；由这些行与列相交处的元素按原来的位置构成的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。一个n阶矩阵A只有一个n阶子式,它称为矩阵A的行列式，记作│A│或detA。
两个矩阵只有在其行数与列数均分别相同，而且所有相应位置的元素均相等时，才能称为相等。只有在两个矩阵的行数与列数均分别相同时，才能进行加法。矩阵
与
相加而得和
，其中
。 数乘矩阵是指数域F中任何数 α 均可去乘F上任意矩阵 而得积 
，即αA仍为m×n矩阵，其第i行第j列的元素为ααij，i=1，2,…,m ；j=1,2,…,n。只有一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数时，这两个矩阵才能进行乘法：一个m×n矩阵A=(αij)去乘一个n×p 矩阵B=(bij)而得积AB是一个m ×p 矩阵D =(dij)，其中 
，即AB的行数与A的行数相同，而其列数与B 的列数相同。此种乘法规则也适用于分块矩阵(即将元素划分成若干小矩阵块的矩阵)。分块时A的列的分法应与B的行的分法一致。
矩阵运算有以下性质：
A+B=B+A；
A+(B+C)=(A+B)+C；
α(A+B)=αA+αB；
(α+β)A=αA+βA；
α(βA)=(αβ)A；
α(AB)=(αA)B=A(αB)；
A(BC)=(AB)C；
(A+B)C=AC+BC；
A(B+C)=AB+AC，
这里A、B、C表示矩阵，α表示数域F中的数。
当一个m×n矩阵的全部元素均为0时,就称为零矩阵，记作Om×n。对于任意一个m×n矩阵A，恒有A+Om×n=A；且恒有惟一的一个m×n矩阵B=(-1)A，使A+B=Om×n，此B称为A的负矩阵，简记为-A。易知-A的负矩阵就是A，即-(-A)=A。
数域F上的所有 m×n矩阵按上述矩阵加法和数乘矩阵运算，构成F上的一个m n维向量空间；F上的所有n阶矩阵按矩阵的加法和乘法构成一个环，称为F上的n阶全阵环。F上的n阶全阵环视为F上的n2维向量空间，就构成F上的n阶全阵代数。
以下是一个4×3矩阵：
某矩阵A的第i行第j列，或i,j位，通常记为A[i,j] 或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。
在C语言中，亦以A[j]表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外A=(aij)，意为A[i,j]=aij对于所有i及j，常见于数学著作中。
一般环上构作的矩阵
给出一环R，M(m,n,R)是所有由R中元素排成的m×n矩阵的集合。若m=n，则通常记以M(n,R)。这些矩阵可加可乘(请看下面)，故M(n,R)本身是一个环，而此环与左R模Rn的自同态环同构。
若R可置换，则M(n,R)为一带单位元的R-代数。其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在R内可逆。
分块矩阵
分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵
可分割成4个2×2的矩阵。
此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。
对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称,即是ai,j=aj,i。
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是ai,j=a*j,i
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对,是ai,j=ai+1,j+1。
随机矩阵所有列都是概率向量,用于马尔可夫链。
给出m×n矩阵A和B，可定义它们的和A+B为一m×n矩阵，等i,j项为(A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j]。举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵A及一数字c，可定义标量积cA，其中(cA)[i,j]=cA[i,j]。例如
这两种运算令M(m,n,R)成为一实数线性空间，维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们是乘积AB是一个m×p矩阵，其中
(AB)[i,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]+...+A[i,n]*B[n,j]对所有i及j。
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C=A(BC)对所有k×m矩阵A,m×n矩阵B及n×p矩阵C("结合律").
(A+B)C=AC+BC对所有m×n矩阵A及B和n×k矩阵C("分配律")。
C(A+B)=CA+CB对所有m×n矩阵A及B和k×m矩阵C("分配律")。
要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵A及B使得AB≠BA。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以Rn表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换f:Rn->Rm都存在唯一m×n矩阵A使得f(x)=Ax对所有x∈Rn。这矩阵A"代表了"线性变换f。今另有k×m矩阵B代表线性变换g:Rm->Rk，则矩阵积BA代表了线性变换gof。
矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵秩。矩阵秩亦是A的行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵Atr（亦纪作AT或tA），即Atr[i,j]=A[j,i]对所有iandj。若A代表某一线性变换则Atr表示其对偶算子。转置有以下特性：
(A+B)tr=Atr+Btr，(AB)tr=BtrAtr。
对角线元素都是 1的 n阶对角矩阵,称为n阶单位矩阵,简记为In。对于任意矩阵Am×n与Bn×p， 恒有
，对于任意n阶矩阵A,恒有AIn=InA=A。若对于一个n阶矩阵A,有一个n阶矩阵B存在,使AB=BA=In,则B称为A的逆矩阵,记作A-1。易知B即A-1是由A惟一确定的。当A有逆矩阵A-1时，A-1也有逆矩阵且就是A,即(A-1)-1=A。有逆矩阵的n阶矩阵，称为非奇异矩阵；没有逆矩阵的n阶矩阵,称为奇异矩阵。当A和B都是n阶非奇异矩阵时，则AB也是非奇异矩阵，且(AB)-1=B-1A-1。这个等式用数学归纳法可推广到任意有限多个n阶非奇异矩阵的情形。
一个 m×n矩阵A的行与列的元素互换而得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵，记为A′或AT。若A是一个n阶方阵，且A′=A，则A称为对称矩阵。关于矩阵的转置,有如下基本运算规律：(A┡)┡=A;(A+B)┡=A′+B┡；(αA)┡=α(A┡)；(AB)┡=B┡A┡。
n阶矩阵A =(αij)的元素αij在│A│中的代数余子式Aij(i,j=1,2,…,n)仍是数域F中的数,于是可作成如下的一个n阶矩阵
，
并记为Ã0。矩阵Ã0,称为A的伴随矩阵。由行列式的性质可知，A为非奇异矩阵，必要而且只要 │A│≠0，此时有
。
一个m×n矩阵A的每行可看成一个n元向量（即n元数列）,称为A的行向量。m×n矩阵A就有m个行向量,这m个行向量中的线性无关极大组所含向量的个数，即行向量的秩数，称为A的行秩数。可类似定义A的列秩数。任意矩阵A的行秩数恒等于其列秩数,因此可简称为A的秩数。A的秩数等于A的非零子式的最大阶数。一个n阶矩阵A的对角线元素的和,称为A的迹数。对任意n阶矩阵A与B,(A+B)的迹数=A的迹数+B的迹数；(kA)的迹数=k（A的迹数），这里k为某个数。
若用一个环R 去代替数域F,则可定义R上的矩阵及其运算，而且上述有关数域F上的内容，绝大部分都可以推广到R上,尤其当R是一个有单位元素1的交换环，甚至是一个域时，则上述的全部内容可以推广到R上。R是一个域或复数域F上的多项式环F【λ】的情形最为有用。
若A=(αij)是复数域F上的一个n阶矩阵,I是n阶单位矩阵，则A、I以及λI-A都可视为多项式环F【λ】上的n阶矩阵
称为A 的特征矩阵。其行列式|λI-A|是F【λ】中的一个首项系数为1的 n 次多项式
(－1)nb0，其中bn-1恰为A的迹数，b0恰为|A|，ƒ(λ)=|λI-A|称为A的特征多项式,其根称为A的特征值或特征根。λ0为A的一个特征值，必要而且只要有F上非零的n元列向量ξ即n行1列的矩阵，使λ0ξ=Aξ。此ξ称为A的属于λ0的一个特征向量。A的属于不同特征值的特征向量，恒在F上线性无关。
对于F【λ】中任意一个m次多项式
，可以用F上任意一个n阶矩阵A去代替λ而引出一个n阶矩阵
，其中I为n阶单位矩阵。所谓凯莱－哈密顿定理,即如果ƒ(λ)是F上n阶矩阵A的特征多项式时,那么恒有ƒ(A)=On,其中On为n阶零矩阵。由此可知，对于F上任意n阶矩阵A,必存在唯一的首项系数为1的多项式φ(λ)使φ(A)=On。对于任意的多项式 g(λ)，g(A)=On 必要而且只要φ(λ)|g(λ)(即φ(λ)能整除g(λ)）。此φ(λ)就称为A的最小多项式。
对矩阵A的行与列或仅对行或仅对列施以若干次初等变换而得到矩阵B，称为A等价于B,记为A≌B。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的等价是在讨论一个向量空间到另一个向量空间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。所谓矩阵的初等变换，是指以下的任何一种变换：①用F中任意的一个不为零的元素α去乘矩阵的第i行(列)；②把矩阵的第i行（列）的b倍加于第j行(列)，其中b为F中任意元素；③互换矩阵的第i与第j行(列)，并分别称为第一、第二、第三种初等变换。
对F上的单位矩阵I进行一次初等变换后所得出的矩阵，称为初等矩阵。一种初等变换对应于一种初等矩阵。对矩阵A的行施以某种初等变换的结果,恰等于用相应的初等矩阵去左乘A;对A的列施以某种初等变换的结果,恰等于用相应的初等矩阵去右乘A。初等矩阵恒为可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵，因此初等矩阵的积恒为非奇异矩阵。由此可知，等价矩阵的秩数相同，或者说初等变换不改变矩阵的秩数。于是，经若干次初等变换后，必可将每个秩数为r的矩阵的左上角化为r阶单位矩阵,而其他位置都化为0。n阶非奇异矩阵恒等价于n阶单位矩阵，恒可表为若干个初等矩阵之积。因此,A≌B必要而且只要有非奇异矩阵P、Q使PAQ=B。
多项式环F【λ】上的矩阵
，简称为λ矩阵。在F【λ】上也可定义行列式。A(λ)的秩数定义为A(λ)的最大非零子式的阶数。对λ矩阵也可进行初等变换,在第一种初等变换中只能使用F中非零的α，而不能用F【λ】中非零的ƒ(λ);第二种初等变换中则可用F【λ】中任意的g(λ)去代替b。也可以定义可逆性，对于λ矩阵P(λ)若有λ矩阵K(λ)使P(λ)K(λ)=K(λ)P(λ)=I，则称λ矩阵P(λ)是可逆的,λ矩阵K(λ)则称为P(λ)的逆矩阵。也可以定义λ矩阵的等价。秩数为r的λ矩阵A(λ)必等价于所谓A(λ)的法式即λ矩阵：
，
这里的诸φi(λ)均由A(λ)惟一确定,且φ1(λ)|φ2(λ)|…|φr(λ)，首项系数均为1。
由此可知，一个n阶λ矩阵P(λ)是可逆的，必要而且只要P(λ)为若干个与λ矩阵的初等变换相应的初等矩阵的积；必要而且只要其行列式为F 中的非零元素。两个λ矩阵A(λ)m×n,B(λ)m×n是等价的，必要而且只要有可逆λ矩阵P(λ)、Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。A(λ)的法式中的诸多项式φi(λ)，都称为A(λ)的不变因子，且可作如下分解：
式中诸ej(λ)是F【λ】中首项系数为1的互不相同的既约多项式；nij为非负整数，且最后一行中的n1r,n2r,…，nkr均非零，并有
。这些因子
，除去指数nij=0者，都称为A(λ)的初等因子。
必要而且只要它们的法式相同；必要而且只要它们的全部不变因子一致；必要而且只要它们的秩数与全部初等因子一致。
对于域F上两个n阶矩阵A、B，若有非奇异矩阵P,使P-1AP=B,则称为A相似于B，记为A～B。矩阵之间的这个关系,具有反身性、对称性和传递性,所以它是一种等价关系。矩阵的相似是在讨论一个向量空间到自身之间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。域F上两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要特征矩阵(λI-A)与(λI-B)在F【λ】上等价。λI-A的不变因子与初等因子,分别称为A的不变因子与初等因子。特征矩阵λI-A的秩数，即A的阶数n。因此,在F上的两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要它们的初等因子一致。当F是一个代数封闭域时，F【λ】中的首项系数为1的既约多项式只能是形如(λ-α)的一次式，所以此时F上的一个n阶矩阵A的全部初等因子必为如下的一些多项式：
的多项式，可以惟一确定一个所谓若尔当小块,即h阶矩阵： 
，
。设上述n阶矩阵A的全部初等因子的若尔当小块分别是J1,J2,…，Jυ，v=r+s+…+t,用这v个小块来合成一个n阶对角分块矩阵 
。
于是A～J，而且除诸小块的次序外，J是由A所惟一确定的。J 称为A的若尔当标准形式。由此可知,只要找出A的全部初等因子即可求得A的若尔当标准形式。要找出A的全部初等因子有一个较简捷的方法，即不必把λI-A化成法式，而先把λI-A通过初等变换化成对角矩阵，其对角线上的全部多项式不一定恰是A的全部不变因子,只要将其中每个非常数多项式的首项系数化为 1，再分解因子，即可象从不变因子求出初等因子那样得出A 的全部初等因子。
设N是任意域F上的一个方阵，若有正整数m使Nm=0，则N称为一个幂零矩阵。例如，把上述若尔当小块中的α全换成0得出的h阶矩阵N，就是一个幂零矩阵，因为Nh=0。
若F上的方阵K具有性质K 2=K,则称K为一个幂等矩阵。例如单位矩阵就是一个幂等矩阵。由直接计算可知，对F上任意多项式ƒ(λ)，有
。因此，与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵；与幂等矩阵相似的矩阵仍为幂等矩阵。
实数域上一个非奇异矩阵T若具有性质T┡=T-1(T┡是T 的转置矩阵),则称为一个正交矩阵。例如解析几何里直角坐标旋转公式的系数矩阵就是正交矩阵。一个正交矩阵的转置矩阵（即其逆矩阵）仍为正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的积仍为正交矩阵。实数域上任意一个对称矩阵A，恒可通过适当的正交矩阵T而相似于对角矩阵D，即D=T-1AT=T┡AT，且D 的对角线上的实数就是A的全部特征根。
复数域上的一个非奇异矩阵U 若具有性质ū ┡＝U-1或U┡＝(ū)-1(ū ┡为U 的共轭转置矩阵)，就称为一个酉矩阵。一个酉矩阵的共轭矩阵仍为酉矩阵；一个酉矩阵的转置矩阵仍为酉矩阵;一个酉矩阵的共轭转置矩阵(即其逆矩阵）仍为酉矩阵；两个同阶的酉矩阵的积仍为酉矩阵。复数域上凡满足
的矩阵A，称为埃尔米特矩阵。实对称矩阵作为复数域上的矩阵时，就是埃尔米特矩阵。任意一个埃尔米特矩阵A,恒可通过适当的酉矩阵U 而相似于实对角矩阵D，即D =U┡Aū,且D 的对角线元素恰为A 的全部特征根。一个正交矩阵作为复数域上的矩阵时，也是一个酉矩阵。
当矩阵A经过若干套初等变换而化为矩阵B 时,则称为A合同于B,记为
。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的合同是在讨论用(对称)矩阵表示二次型的问题中产生的。
所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第i列（行）施行而得一矩阵,然后再对此所得矩阵的第i行(列)施行又得一矩阵。第一、二、三套初等交换，分别由第一、二、三种初等变换组成。
两个n阶矩阵A与B 合同，必要而且只要有非奇异矩阵P 使P┡AP ＝B。与对称矩阵合同之矩阵仍为对称矩阵。每个秩数为r的实对称矩阵A恒合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个-1；其他的对角线元素均为0，这里p≥0,q≥0，p+q=r，而且p与q都是由A所惟一确定的。实对称矩阵的特征根恒为实数。实对称矩阵A 能合同于而又相似于一个对角矩阵,其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵合同的实对称矩阵，称为正定矩阵。对于n阶实对称矩阵A,以下命题是等价的：A为正定矩阵；有非奇异矩阵Q使
；A的所有主子式均为正实数；A的所有i阶主子式之和Si均为正实数(i=1,2,…,n)；A的所有左上角的主子式均为正实数;A的所有特征根均为正实数；A所相应的二次型为正定型。
对一个复数方阵施以第一套初等变换，就是用不为零的α乘i行,再用ā乘第i列；施以第二套初等变换，就是把第i行的b倍加于第j行,再用第i列的姼倍加于第j列；施以第三套初等变换仍然是互换第i和第j两行，再互换第 i和第j两列。若对复数方阵A施以上述的若干套初等变换而得方阵B,则称为A能h合同于B。矩阵的h合同关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。两个n阶复数矩阵A与B是h 合同的,必要而且只要有非奇异矩阵P 使P′A圴 ＝B。与埃尔米特矩阵是h 合同的矩阵仍为埃尔米特矩阵。每个埃尔米特矩阵A 恒h 合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个－1，其他元素均为0,这里p≥0,q≥0，p +q为A的秩数,而且p、q均是由A 所惟一确定的。埃尔米特矩阵的特征根恒为实数。埃尔米特矩阵A 不仅恒能h 合同于一个对角矩阵，而且必能相似于一个对角矩阵,此时其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵是h合同的埃尔米特矩阵,称为正定埃尔米特矩阵。对于一个n阶埃尔米特矩阵A，以下命题是等价的：A 为正定埃尔米特矩阵；有非奇异矩阵Q 使
;A的所有主子式为正实数;A 的所有i阶主子式之和Si,均为正实数(i=1,2,…,n)；A的所有左上角的主子式均为正实数;A的所有特征根均为正实数;A所相应的埃尔米特二次型是正定埃尔米特二次型。复数域上的一个方阵A若满足A凴′=凴′A(即A与凴′可交换)就称A为正规矩阵。实对称矩阵、埃尔米特矩阵、正交矩阵与酉矩阵都是正规矩阵。每个复数方阵A均可表为A=h1+ih2，其中h1与h2均为由A 所惟一确定的埃尔米特矩阵，此时A为正规矩阵必要而且只要h1与h2可交换。正规矩阵A与凴′有相同的特征向量。一个复数方阵A为正规矩阵,必要而且只要有酉矩阵U 使U-1AU 为对角矩阵。
矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪。A.凯莱在1858年引进矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加法与乘法运算，于是人们就把A.凯莱作为矩阵论的创始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年与F.G.M.艾森斯坦在1844～1852年就早已先后把一个线性替换(即线性变换)的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。艾森斯坦还强调乘法的次序的重要性，指出ST与TS未必相同。与艾森斯坦同时的C.埃尔米特以及稍后的E.N.拉盖尔和F.G.弗罗贝尼乌斯也都先后发展了线性替换的符号代数。弗罗贝尼乌斯较丰富的工作于1877年发表在最早的数学杂志之一的《克雷尔杂志》上。矩阵的相似标准形,矩阵的合同标准形，矩阵的求逆,矩阵的特征值与广义特征值等是矩阵论的经典内容；矩阵方程论，矩阵分解论，广义逆矩阵等是矩阵论的现代内容。矩阵及其理论在现代科学技术的各个领域都有广泛的应用。
矩阵图法就是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。矩阵图的形式如图所示，A为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系。按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以探索问题的所在和问题的形态，也可以从中得到解决问题的启示等。质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格品时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。矩阵图的最大优点在于，寻找对应元素的交点很方便，而且不遗漏，显示对应元素的关系也很清楚。矩阵图法还具有以下几个点：①可用于分析成对的影响因素；②因素之间的关系清晰明了，便于确定重点；③便于与系统图结合使用。
二、矩阵图法的用途矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中．常用矩阵图法解决以下问题：①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点；②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠；③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除；⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。
三、矩阵图的类型矩阵图法在应用上的一个重要特征，就是把应该分析的对象表示在适当的矩阵图上。因此，可以把若干种矩阵图进行分类，表示出他们的形状，按对象选择并灵活运用适当的矩阵图形。常见的矩阵图有以下几种：(1)L型矩阵图。是把一对现象用以矩阵的行和列排列的二元表的形式来表达的一种矩阵图，它适用于若干目的与手段的对应关系，或若干结果和原因之间的关系。(2)T型矩阵图。是A、B两因素的L型矩阵和A、c两因素的L型矩阵图的组合矩阵图，这种矩阵图可以用于分析质量问题中“不良现象一原因一工序”之间的关系，也可以用于分析探索材料新用途的“材料成分一特性一用途”之间酌关系等。(3)Y型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与A因素三个L型矩阵图组合在一起而形成的矩阵图。(4)X型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与D因素、D因素与A因素四个L型矩阵图组合而形成的矩阵图，这种矩阵图表示A和B、D，D和A、C，C和B、D，D和A、C这四对因素间的相互关系，如“管理机能一管理项目一输入信息一输出信息”就属于这种类型。（5)C型矩阵图。是以A、B、C三因素为边做出的六面体，其特征是以A、B、c三因素所确定的三维空间上的点为“着眼点”。
四、制作矩阵图的步骤制作矩阵图一般要遵循以下几个步骤：①列出质量因素：②把成对对因素排列成行和列，表示其对应关系；③选择合适的矩阵图类型；④在成对因素交点处表示其关系程度，一般凭经验进行定性判断，可分为三种：关系密切、关系较密切、关系一般（或可能有关系)，并用不同符号表示；⑤根据关系程度确定必须控制的重点因素；⑥针对重点因素作对策表。
矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theoryofdeterminants)。1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则。1800年代，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法。
1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix一词。研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼。
矩阵卡是由深圳网域提出的一种保护个人帐号的系统,它是由一张表格组成,横排是A\BC\D等英文字母,在竖排是1.2.3等阿拉伯数字，在登录时必须通过矩阵卡的验证才可以进入游戏。
类似于矩阵卡
矩阵卡特征向量-定义
数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换【2】下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。 图1给出了一幅图像的例子。一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。
这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。
“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。
定义
空间上的变换—如平移(移动原点)，旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。
变换的特征向量是指在变换下不变或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量【3】。
特征向量的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
变换的主特征向量是对应特征值最大的特征向量。
特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
有限维向量空间上一个变换的谱是其所有特征值的集合。
例如，三维空间旋转的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转的谱当中唯一的实特征值。
例子
随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。
另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个有特征值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。
但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样（图2.）。振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。
如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。
特征值方程
从数学上看，如果向量v与变换满足
则称向量v是变换的一个特征向量，λ是相应的特征值。其中是将变换作用于v得到的向量。这一等式被称作“特征值方程”。
假设是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：
其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：
但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）
考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：
,
其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。
该特征值方程的一个解是N = exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。若λ是负数，我们称N的演变为指数衰减；若它是正数，则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。因此d/dt的谱是整个复平面。在这个例子中，算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。该空间有无穷维（因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的）。但是，每个特征值λ所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为N = N0exp(λt)的函数的集合。N0是任意常数，也就在t=0的初始数量。
谱定理
关于此话题更进一步的细节，见谱定理。
谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。
谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。
矩阵的特征值和特征向量
计算矩阵的特征值和特征向量
假设我们想要计算给定矩阵的特征值。若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在那种情况我们必须采用数值方法。
符号演算
关于此话题更进一步的细节，见矩阵特征值的符号演算。
求特征值
描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于说线性系统 (A – λI) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式:
函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和。 这就是A的特征多项式：矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
求特征向量
一旦找到特征值λ，相应的特征值可以通过求解如下方程得到：
没有实特征值的一个矩阵的例子实顺时针90度旋转：
其特征多项式是λ2 + 1，因此其特征值成复共轭对出现：i, -i。相应的特征向量也是非实数的。
数值计算
关于此话题更进一步的细节，见特征值算法。
在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算。计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值中的小误差可以导致特征向量的巨大误差。因此，寻找特征多项式和特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算如下的一系列单位向量
, , , ...
这个序列几乎总是收敛于最大绝对值的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。
代数重次
A的一个特征值λ的代数重次是λ作为A的特征多项式的零点的次数；换句话说，若λ是一个该多项式的根，它是因子(t − λ)在特征多项式中在因式分解后中出现的次数。一个n×n矩阵有n个特征值，如果将代数重次计算在内的话，因为其特征多项式次数为n。
一个代数重次1的特征值为“单特征值”。
在关于矩阵理论的条目中，可能会遇到如下的命题：
"一个矩阵A的特征值为4,4,3,3,3,2,2,1,"
表示4的代数重次为二，3的是三，2的是二，而1的是1。这样的风格因为代数重次对于矩阵理论中的很多数学证明很重要而被大量使用。
回想一下，我们定义特征向量的几何重次为相应特征空间的维数，也就是λI − A的零空间。代数重次也可以视为一种维数：它是相应广义特征空间 (第一种意义)的维数，也就是矩阵(λI − A)k对于任何足够大的k的零空间。也就是说，它是“广义特征向量”（第一种意义）的空间，其中一个广义特征向量是任何一个如果 λI − A作用连续作用足够多次就“最终”会变0的向量。任何特征向量是一个广义特征向量，以此任一特征空间被包含于相应的广义特征空间。这给了一个几何重次总是小于代数重次的简单证明。这里的第一种意义不可和下面所说的广义特征值问题混淆。
例如：
它只有一个特征值，也就是λ = 1。其特征多项式是(λ − 1)2，所以这个特征值代数重次为2。但是，相应特征空间是通常称为x轴的数轴，由向量线性撑成，所以几何重次只是1。
广义特征向量可以用于计算一个矩阵的若当标准型（参看下面的讨论）。若当块通常不是对角化而是幂零的这个事实与特征向量和广义特征向量之间的区别直接相关。
如上所述，谱定理表明正方形矩阵可以对角化当且仅当它是正规的。对于更一般的未必正规的矩阵，我们有类似的结果。当然在一般的情况，有些要求必须放松，例如酉等价性或者最终的矩阵的对角性。 所有这些结果在一定程度上利用了特征值和特征向量。下面列出了一些这样的结果：
舒尔三角形式表明任何矩阵酉等价于一个上三角矩阵；
奇异值分解定理， A = UΣV * 其中Σ为对角阵，而U,V为酉矩阵。A = UΣV * 的对角线上的元素非负，而正的项称为A的奇异值。这对非正方形矩阵也成立；
若当标准型，其中A = UΛU − 1 其中Λ不是对角阵，但是分块对角阵，而U是酉矩阵。若当块的大小和个数由特征值的几何和代数重次决定。若当分解是一个基本的结果。从它可以立即得到一个正方形矩阵可以完全用它的特征值包括重次来表述，最多只会相差一个酉等价。这表示数学上特征值在矩阵的研究中有着极端重要的作用。
作为若当分解的直接结果，一个矩阵A可以“唯一”地写作A = S + N其中S可以对角化，N是幂零的（也即，对于某个q，Nq=0），而S和N可交换(SN=NS)。
任何可逆矩阵A可以唯一地写作A = SJ，其中S可对角化而J是么幂矩阵 (也即，使得特征多项式是(λ-1)的幂，而S和J可交换)。
特征值的一些另外的属性
谱在相似变换下不变: 矩阵A和P-1AP有相同的特征值，这对任何矩阵A和任何可逆矩阵 P都成立。谱在转置之下也不变：矩阵A和AT有相同的特征值。
因为有限维空间上的线性变换是双射当且仅当它是单射，一个矩阵可逆当且仅当所有特征值都不是0。
若当分解的一些更多的结果如下：
一个矩阵是对角阵当且仅当代数和几何重次对于所有特征值都相等。特别的有，一个n×n矩阵如果有n不同特征值，则总是可以对角化的。
矩阵作用的向量空间可以视为其广义特征向量所撑成的不变子空间的直和。对角线上的每个块对应于该直和的一个子空间。若一个块是对角化的，其不变子空间是一个特征空间。否则它是一个广义特征空间，如上面所定义；
因为迹，也就是矩阵主对角线元素之和，在酉等价下不变，若当标准型说明它等于所有特征值之和；
类似的有，因为三角矩阵的特征值就是主对角线上的项，其行列式等于等于特征值的乘积（按代数重次计算出现次数）。
正规矩阵的一些子类的谱的位置是：
一个厄尔米特矩阵(A = A*)的所有特征值是实数。进一步的有，所有正定矩阵(v*Av > 0 for all vectors v)的所有特征值是正数；
所有斜厄尔米特矩阵(A = −A*)的特征值是纯虚数；
所有酉矩阵(A-1 = A*)的特征值绝对值为1;
假设A是一个m×n矩阵，其中m ≤ n，而B是一个n×m矩阵。则BA有和AB相同的特征值加上n − m个等于0的特征值。
每个矩阵可以被赋予一个算子范数。算子范数是其特征值的模的上确界，因而也是它的谱半径。该范数直接和计算最大模的特征值的幂法直接相关。当一个矩阵是正规的，其算子范数是其特征值的最大模，并且独立于其定义域的范数。
共轭特征向量
一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。共轭特征变量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义，但是在交替坐标系统被使用的时候出现。对应的方程是：
例如，在相干电磁散射理论中，线性变换A代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态。在光学中，坐标系统按照波的观点定义，称为前向散射对齐 (FSA)，从而导致了常规的特征值方程，而在雷达中，坐标系统按照雷达的观点定义，称为后向散射对齐 (BSA)，从而给出了共轭特征值方程。
一个广义特征值问题(第二种意义)有如下形式
其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解如下方程得到
形如A − λB的矩阵的集合，其中λ是一个复数，称为一个“铅笔”。 若B可逆，则最初的问题可以写作如下形式
也即标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。
如果A和B是实系数的对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵B − 1A未必是对称的。
这里的一个例子是分子轨道应用如下。
系数为环中元素
在方矩阵A，其系数属于一个环的情况，λ称为一个右特征值如果存在一个列向量x使得Ax=λx，或者称为一个左特征值如果存在非零行向量y使得yA=yλ。
若环是可交换的，左特征值和右特征值相等，并简称为特征值。否则，例如当环是四元数集合的时候，它们可能是不同的。
若向量空间是无穷维的，特征值的概念可以推广到谱的概念。谱是标量λ的集合，对于这些标量，没有定义，也就是说它们使得没有有界逆。
很明显，如果λ是T的特征值，λ位于T的谱内。一般来讲，反过来并不成立。在希尔伯特空间或者巴拿赫空间上有一些算子完全没有特征向量。这可以从下面的例子中看到。 在希尔伯特空间(所有标量级数的空间，每个级数使得收敛)上的双向平移没有特征向量却有谱值。
在无穷维空间，有界算子的谱系总是非空的，这对无界自共轭算子也成立。通过检验谱测度，任何有界或无界的自共轭算子的谱可以分解为绝对连续，离散，和孤立部分。指数增长或者衰减是连续谱的例子，而振动弦驻波是离散谱例子。氢原子是两种谱都有出现的例子。氢原子的束缚态对应于谱的离散部分，而离子化状态用连续谱表示。图3用氯原子的例子作了解释。
应用
薛定谔方程
一个变换用微分算子代表的特征值方程的例子是量子力学中的时不变薛定谔方程
HΨE = EΨE
其中H是哈密尔顿算子，一个二阶微分算子而ΨE是波函数，对应于特征值E的特征函数，该值可以解释为它的能量。
图4. 一个氢原子中的一个电子的束缚态所对应的波函数可以视为氢原子哈密尔顿算子的一个特征向量，也是角动量算子的一个特征向量。它们对应于可以解释为它们的能量(递增：n=1,2,3,...)和角动量(递增：s, p, d,...)的特征值。这里画出了波函数绝对值的平方。更亮区域对应于位置测度的更高概率密度。每幅图的中心都是原子核，一个质子但是，在这个情况我们只寻找薛定鄂方程的束缚态解，就像在量子化学中常做的那样，我们在平方可积的函数中寻找ΨE。因为这个空间是一个希尔伯特空间，有一个定义良好的标量积，我们可以引入一个基集合，在其中ΨE和H可以表示为一个一维数组和一个矩阵。这使得我们能够用矩阵形式表达薛定鄂方程。(图4代表氢原子哈密尔顿算子的最低能级特征函数。）
狄拉克记法经常在这个上下文中使用，以强调状态的向量和它的表示，函数ΨE之间的区别。在这个情况下，薛定鄂方程写作
并称是H的一个本征态(H有时候在入门级课本中写作)，H被看作是一个变换（参看观测值）而不是一个它用微分算子术语进行的特定表示。在上述方程中，理解为通过应用H到得到的一个向量。
在量子力学中，特别是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理论下，原子轨道和分子轨道可以定义为Fock算子的特征向量。相应的特征值通过Koopmans定理可以解释为电离势能。在这个情况下，特征向量一词可以用于更广泛的意义，因为Fock算子显式地依赖于轨道和它们地特征值。如果需要强调这个特点，可以称它为隐特征值方程。这样地方程通常采用迭代程序求解，在这个情况下称为自洽场方法。在量子化学中，经常会把Hartree-Fock方程通过非正交基集合来表达。这个特定地表达是一个广义特征值问题称为Roothaan方程。
在因素分析中，一个协变矩阵的特征向量对应于因素，而特征值是因素负载。因素分析是一种统计学技术，用于社会科学和市场分析、产品管理、运筹规划和其他处理大量数据的应用科学。其目标是用称为因素的少量的不可观测随机变量来解释在一些可观测随机变量中的变化。可观测随机变量用因素的线性组合来建模，再加上“残差项。
图5. 特征脸是特征变量的例子特征脸
在图像处理中，脸部图像的处理可以看作分量为每个像素的辉度的向量。该向量空间的维数是像素的个数。一个标准化面部图形的一个大型数据集合的协变矩阵的特征向量称为特征脸。它们对于将任何面部图像表达为它们的线性组合非常有用。特征脸提供了一种用于识别目的的数据压缩的方式。在这个应用中，一般只取最大那些特征值所对应的特征脸。
惯量张量
在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据。
应力张量
在固体力学中，应力张量是对称的，因而可以分解为对角张量，其特征值位于对角线上，而特征向量可以作为基。因为它是对角阵，在这个定向中，应力张量没有剪切分量；它只有主分量。
图的特征值
在谱系图论中，一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵I − T − 1 / 2AT − 1 / 2，其中T是对角阵表示每个顶点的度数，在T − 1 / 2中，0用于取代0 − 1 / 2。图的主特征向量用于测量其顶点的中心度。Google的PageRank算法就是一个例子。www图的修正邻接矩阵的主特征向量的分量给出了页面评分。
^ T. W Gorczyca, Auger Decay of the Photoexcited Inner Shell Rydberg Series in Neon, Chlorine, and Argon, 第18次X射线和内壳层进程国际会议的摘要，芝加哥，1999年8月23-27日。
^ 在这个上下文，只考虑从一个向量空间到自身的线性变换。
^ 因为所有线性变换保持零向量不变，它不作为一个特征向量。
