)消元法
又称消去法。解线性代数方程组的主要方法之一。早在东汉以前，中国古代著名的数学著作《九章算术》中就有了用消元法解方程组的方法。直到今日，消元法仍是解线性代数方程组的一个很重要的方法。在一些国家的数学著作中也常用高斯消去法这一名词。
消元法解线性代数方程组时，将某一方程乘以某些常数分别加到其他方程上，以消去这些方程中的某一未知量。重复施行这一步骤，就可逐步消去未知量，最后只剩下一个未知量。用矩阵的语言来说也就是对方程组的系数矩阵或增广矩阵(加上右端项所成的矩阵)进行初等变换，使它的一些元素(例如主对角线以下的元素)为零。具体地说，设方程组为
(1)
(2)
都不为零，最后得到 
(3)
有了(3)就可反推求出(1)的解：
在消去过程中，有时可能遇到α
=0的情况，但若方程组(1)有惟一解，则在
中至少有一个不为零，例如 α嫻≠0，那么只要将这时的第k个方程和第j个方程互换,即可继续进进消去。有时虽α≠0，但｜α｜很小，此时往往带来较大误差,从而使最后得到的解不够精确，甚至面目全非。为避免这种情况，也要进行上述交换，将 
中最大者所在的方程与第k个方程交换,这叫做列主元素消元法或部分主元素消元法,也可在后n-k+1个方程的所有的系数中找出绝对值最大的而后进行方程和未知量的交换，这叫做全主元素消元法，但这种方法工作量较大，一般用列主元素消去法较好。 方程组(1)可写成矩阵的形式
(4)
三角分解法 又称因子分解法，是由消元法演变而来的解线性代数方程组的一种方法,它将方程组(4)中的系数矩阵A分解成下三角形矩阵L和上三角形矩阵 U之积。它有几种形式，例如可取L的对角线元素为1,即L为单位下三角形矩阵。这种情形下将L和U相乘，并与A比较,可知L和U的元素lij和uij可由下列递推公式给出：对k=1,2，…,n，
为零（下同）。得到L和U后，(4)可写为两个方程组 
(5)
(6)
若A为对称正定矩阵，可设
而对k=1,2,…,n，按 
21，l21，d2，31，l31，32，l32，d3，…的顺序计算。求解过程为 
追赶法 解系数矩阵 A为三对角矩阵的线性代数方程组的常用方法。设方程组为
(7)
(8)
直接法的某些问题 解线性代数方程组的方法分直接法和迭代法两大类,上面的方法都属直接法的范畴。在用直接法求解时，要根据系数矩阵的性质和计算机的性能，从内存、计算量、稳定性等一些方面来考虑。就一些计算机而言，乘除法所需时间较加减法多得多，故应尽量减少乘除法。上面的高斯消去法、杜利特尔法、克劳特法中的乘除法和加减法的次数均
数量级，而乔勒斯基法由于利用了对称的性质，就只有
。在计算中,中间量应尽量存储在原矩阵A以后不再用的元素的位置,例如分解法的L和U的元素即可占用A的相应元素的位置。特别对稀疏矩阵，应根据矩阵的形状，选择特殊的计算方法以尽量节省计算量和避免产生较多的非零元素。对三对角矩阵情形的追赶法就是一个突出的例子。 当用某种方法求出方程组(1)或(4)的解时，由于舍入误差的影响，它一般不是方程组的精确解尣,而只是一个近似解慜。将慜代入原方程,若剩余向量r=A慜-ƒ各分量的绝对值均甚小，一般就可认为 慜是比较精确的近似解，也可任取一已知向量z,较精确地（例如用双精度）算出向量b=Az,然后用解A尣=ƒ 同样的方法解Az=b,得近似解墫。一般就用
作为 尣的近似解慜的误差。然而这种方法也不是绝对可靠的。特别对病态矩阵、矩阵的元素或方程组的右端的微小变动可以导致方程组的解很大变动。这种误差估计的方法是威尔金逊的一个重要结果，然而作出的上界往往偏高。如何更好地估计误差仍待研究。 为了提高解的精度,下述迭代改进法还是可取的:设尣0为(4)的近似解，计算
,
矩阵求逆法 给定一个非奇异矩阵A,求A的逆矩阵A-1本质上是解一组线性代数方程组的问题。事实上由Ap=I(单位矩阵)，可知逆矩阵p的第i列所成的向量pi应为方程组Api=ei的解，此处ei为第i个分量为1、其余分量为零的列向量。实际求逆矩阵时，可用消元法来计算。在前面的高斯消元法中，每步可以不仅将对角线以下的元素消成零而且将对角线以上的元素也消成零，并使对角线元素为1。与高斯消元法相类似，可以得到
和解线性代数方程组的三角分解法一样,也可将A分解为下三角阵L和上三角阵U之积,即A=LU，从而A-1=U -1L-1，而三角形矩阵的逆矩阵是易于求出的。
此外还有分块法、加边法、迭代法等一些求逆矩阵的方法。
参考书目
冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978。
