欧拉公式

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欧拉公式简介

欧拉公式是根据其提出者莱昂哈德·欧拉（‎‎‎‎‎‎Leonhard Euler）而命名的公式。

欧拉公式形式

(1) 在复分析领域的欧拉公式为:

对于任意实数，存在:
$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$
当时 $x=\pi\,$ ，欧拉公式的特殊形式为 $e^{i \pi} + 1 = 0 \,$ 。（参见欧拉恒等式）
(2) 在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式的形式为：

对于一个拥有 $F\,$ 个面、 $V \,$ 个顶角和 $E\,$ 条棱（边）的单联通多面体，必存在
$F+V-E=2 \,$ （参见欧拉示性数）

欧拉公式证明

复分析领域：

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$ , $x \in \mathbb{R}\,$
方法一：泰勒级数法
将函数 $e^x \,$ ， $cos(x)\,$ 和 $sin(x)\,$ 写成泰勒级数形式：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$
将 $x=iz\,$ 代入可得：
$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$
$= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$
$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$
$= \cos (z) + i\sin (z) \,$
方法二：微积分法
定义函数

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}$
由于

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1$
可知 $e^{ix}\,$ 不可能为0，因此以上定义成立。

则 $f(x)\,$ 之微分为：

$\begin{align} f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ixi^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= 0 \end{align}$ }-
因此 $f(x)\,$ 必须为一常数函数。

所以： $\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1$

重新整理，即可得到： $\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}$

欧拉公式在复分析的应用

这公式可以说明当x为实数时，函数 eix 可在复数平面描述一单位圆。且x为此平面上一条连至原点的线与正实数轴的交角(顺时钟的)。先前一个在复数平面的复点只能用卡式坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数 z = x + yi 皆可记为

$z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,$

在此

$x = \mathrm{Re}\{z\} \,$ 为实部
$y = \mathrm{Im}\{z\} \,$ 为虚部
$|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ 为z 的模
φ = atan2(y,x),

欧拉公式有4条
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，是面数，则
v-e+f=2-2p
p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
等等

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