)欧几里得空间
简称欧氏空间，是带有“内积”的实数域上的一类向量空间。“内积”是一个度量概念，有明显的代数性质,向量的长度和夹角都可以通过向量的内积来表示。所谓内积，是指与实数域R上向量空间E中任意一对向量u、v 惟一对应的实数,这个实数记作(u，v),并满足以下条件：
①(u,v)=(v,u)，②
③(αu,v)=α(u，v),④(u,u)≥0,当且仅当u=0时(u,u)=0，式中u,u1,u2，v是E 的任意向量，α是任意实数。 一个定义了内积的实数域上的向量空间，称为欧几里得空间。例如，设V是解析几何里的三维空间,u、v是V 的任意向量，在V 中定义(u,v)=｜u｜·｜v｜cosθ，其中|u|、|v|分别表示u、v的长度，θ表示u和v的夹角。(u,v)满足内积的全部条件, 所以V是一个欧氏空间。设R是实数域，R 上的n 维向量空间
,定义
，式中
，则Rn成为一个欧氏空间。设E是定义在闭区间 【-1,1】上一切连续实函数所构成的向量空间，定义 
，
向量的长和夹角 欧氏空间E 的一个向量尣的长,定义为非负实数
，并记作|尣|，即 
。
标准正交基 如果欧氏空间的两个向量尣与у的内积为零，即(尣,у)=0，那么尣与у 称为正交的。在一个欧氏空间里，与解析几何的直角坐标系相类似的概念是所谓标准正交基。n维欧氏空间E的基e1,e2,…,en,如果满足条件
,是E的任意向量，那么
,即在一个标准正交基下，两个向量的内积等于其对应坐标的乘积之和。 欧氏空间的同构 如果两个欧氏空间E 和E┡，作为实数域上的向量空间是同构的，而且当尣凮尣┡,у凮у┡时有(尣,у)=(尣┡,у┡),即E 和E┡ 的相对应的向量的内积是相等的,那么E与E┡称为同构。任意一个n维欧氏空间都与Rn同构。
酉空间 欧氏空间在复数域上的自然推广。如果V 是复数域上的一个向量空间,对于V的任意一对向量u、v，有一个确定的复数(u，v)与之对应,且满足以下条件:(u，v)
,当且仅当u=0时等号成立,那么V 称为酉空间。这里u1,u2是V 的向量，α是任意复数,
表示(v,u)的共轭复数。由于有
，所以(u,u)是实数，因而(u,u)≥0有意义。 在一个酉空间里，也可以把向量u的长｜u｜定义为
，但是不能象在欧氏空间里那样来定义两个向量的夹角，因为一般说来,(u,v)不一定是实数。尽管酉空间里有向量的长度概念而无夹角概念，然而仍可引入两个向量正交的概念。如果酉空间的两个向量u、v的内积为零，即(u,v)=0，那么u与v称为正交的。在一个n维酉空间里,也可以定义标准正交基；而且任一n维酉空间必定存在标准正交基。
