柯西积分定理

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柯西积分定理柯西积分定理

柯西积分定理正文

　　A.-L. 柯西研究复变函数的积分所得到的基本定理。应用这一定理可导出解析函数的一系列重要性质。例如，可证明如果一复变函数在一区域内是解析的(即有导数)，则其导数必连续且任意阶导数必存在；还可计算一些定积分或反常积分，等等。
　　复积分定义 　设函数ƒ(z)=u+iv在可求长曲线Г上是连续的，其中u和v分别是ƒ(z)的实部和虚部。在Г上依次取分点柯西积分定理

。Г上从z_k_-1到 z_k的小段记为Г_k,在Г_k上任取一点

,作和数

柯西积分定理。

如果当

（s_k是Г_k的弧长）趋于零时,s趋于一极限值，则称这个极限值为ƒ(z)沿曲线Г的积分，记为

柯西积分定理，

即

柯西积分定理。

因为

柯西积分定理，

所以

当λ→0时，上式右边的两个和数分别趋于

柯西积分定理

与

柯西积分定理，

于是有

柯西积分定理。

　　柯西积分定理 　设ƒ(z)在有限单连通区域（即“无洞”且不含无穷远点的区域）D内解析,Г是D内任一条可求长、简单（即本身不相交）、闭(即两端点重合)曲线，则

柯西积分定理。

　　柯西定理有一逆定理，即莫雷拉定理，这一定理与柯西积分定理相结合，可叙述为：设ƒ(z)在有限单连通区域D内连续，则ƒ(z)在D内解析的充分必要条件是：对D内任一条可求长简单闭曲线（或任一三角形）Г，

柯西积分定理。

　　柯西积分公式 　由柯西积分定理可导出柯西积分公式,这一公式把解析函数用曲线积分表示出来。特别,它用解析函数在一闭曲线上的值，表示出它在曲线内侧的值。柯西积分公式可表述如下：设ƒ(z)在有限单连通区域D内解析，Г是D内任一条可求长简单闭曲线,则对Г所围区域内任一点z，　

柯西积分定理

式中积分是在Г上沿反时针方向取的。
　　柯西积分公式启发人们研究柯西型积分。设函数φ(ξ)在某一可求长简单闭曲线Г上可积(ξ∈Г),则由柯西型积分

柯西积分定理

确定的函数, 当z媂Г时是解析的。对于Г上几乎所有的点z₀,当z从Г的内侧及外侧沿不与Г相切的曲线分别趋近于z₀时，有极限

柯西积分定理，

式中

柯西积分定理

　　当Г不是闭曲线时，也有类似结果。柯西型积分可应用于研究解析函数的边界性质、边值问题及奇异积分方程。
　　引进同伦及同调概念，可以把柯西积分定理叙述成一般形式。设Г₀:z=Г₀(s)及Г₁:z=Г₁(s)(0≤s≤1)是区域D内两条可求长闭曲线，设存在着在D内取值的连续函数z=G(s,t)(0≤s≤1，0≤t≤1)，使得

G(s,0)=Г₀(s),G(s,1)=Г₁(s) (0≤s≤1)；

G(0,t)=G(1,t) (0≤t≤1)，

则称Г₀与Г₁在D内同伦。
　　对于z媂Г₀，定义z关于Г₀的指标为

柯西积分定理。

如果D的余集中任何点关于Г₀及Г₁的指标相同，则称Г₀及Г₁在D内同调。可以证明，如果Г₀及Г₁在D内同伦,则它们也在D内同调。柯西积分定理的一般形式是:设ƒ(z)在区域D内解析，Г₀和Г₁是D内两条同伦或同调的可求长闭曲线，则

柯西积分定理。