李特尔伍德－佩利理论

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李特尔伍德－佩利理论李特尔伍德－佩利理论

李特尔伍德－佩利理论正文

　　关于l^p(p>1)空间中傅里叶级数的理论,1931～1940年由J.E.李特尔伍德、R.E.A.C.佩利首创，后由A.赞格蒙、J.马钦凯维奇等加以发展。它包括以下两个方面。
　　① 引进两个重要函数（或算子）：

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式中ƒ（z）=ƒ（re^ix）是单位圆｜z｜<1内的解析函数，ƒ┡(z)是ƒ(z)的导函数。主要结果是：设p>1,那么存在着仅与p有关的常数A_p,B_p，使

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成立。式(1)和(2)的第一个不等式，还要加上ƒ(0)=0的条件。
　　② 三角级数的二进分块。假设φ(x)为实值函数,并且φ(x)∈l^p(0,2π)，又设φ(x)的傅里叶级数

李特尔伍德－佩利理论。 (3)

把(3)分成如下的三角多项式块：

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叫做三角级数(3)的二进分块。
　　从(1)可以得到以下的结论：存在常数A_p(p>1)，使

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不等式(5)是研究l^p空间中傅里叶级数的基本工具,它的作用相当于刻画l²(0,2π)空间特征性质的帕舍伐尔等式：设ƒ∈l²（0,2π），又设ƒ的傅里叶级数李特尔伍德－佩利理论

那么

李特尔伍德－佩利理论 (6)

反之，一个三角级数

的系数满足条件

时，它就是l²(0,2π)空间中某函数的傅里叶级数。这就是说，三角级数系数的模的大小，能够确定它是否属于l²(0,2π)。对l^p(0,2π)，p≠2，类似的问题,复杂得多了。下面是一个例子。
　　任取一个函数ƒ₀(x)∈l^p（0,2π） (1<p<2)，并设

,假如

那么可以证明,当随机地取±号时，级数

“基本上”(以概率1)都不是傅里叶级数。这说明，不可能期望以三角级数的系数的大小来刻画l^p(p≠2)空间中函数的特征性质。李特尔伍德－佩利理论正是从这个目的出发去研究l^p空间的。上述①中的g、g^*函数,以及②中对三角级数的二进分块，都是研究l^p空间的重要工具。
　　李特尔伍德-佩利理论的建立,在很大程度上依靠了复变函数论中解析函数的许多重要性质。但是，多元复变函数论的情况很不一样,影响了李特尔伍德-佩利理论在高维空间的推广。1952年出现了考尔德伦－赞格蒙研究高维空间奇异积分的奠基性论文，其中采用的实变函数论方法,对研究高维空间很有成效。在他们影响下,E.M.施坦把李特尔伍德-佩利理论的g函数与Η.Η.卢津的面积函数s推广到高维空间,并建立了相应的定理。1961年，斯坦又把g^*函数推广到高维空间，他是利用调和函数来建立的，这些函数已经成为高维空间中傅里叶分析的基本工具。
　　参考书目
　E.M.Stein,Singular Integrals and Differentia-bility of Functions,Princeton Univ. Press, Princeton,1970.

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