)有限元
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是5
0年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析
方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：
1） 物体离散化
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后
单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问
题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情
况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有
的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用
有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获
得的结果就与实际情况相符合。
2） 单元特性分析
A、 选择位移模式
在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未
知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位
移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变
和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近
似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数
称为位移模式或位移函数，如y= 其中 是待定系数， 是与坐标有关的某种函数。
B、 分析单元的力学性质
根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力
和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方
程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本
步骤之一。
C、 计算等效节点力
物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际
的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界
上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代
替所有作用在单元上得力。
3） 单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的
有限元方程
（1-1）
式中，K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；f是载荷列阵。
4） 求解未知节点位移
解有限元方程式（1-1）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算
方法。
通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是"一分一合"，分是为了就进行单元
分析，合则为了对整体结构进行综合分析。
