)拿破仑定理
拿破仑十分爱好数学,在数学方面也很有造诣.现提供一个初等数学定理,很有意思.
拿破仑定理:三角形ABC中,向三边分别向外侧作正三角形，然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.
这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形，则它们的顶点构成一个等边三角形．
下面介绍拿破仑定理的两种推广：
定理1 如图1，以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD，CAE和ABF，这三个等腰三角形的底角各为α，β和γ，且α+β+γ＝90°，则
∠FDE＝90°-α，∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．
证明 为方便计，把△ABC的三内角简记为A、B、C．因DC＝DB，则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置，连FG．
∵∠FBG＝360°-∠DBF-∠DBG
＝360°- (α+β+γ) - (α+C+β)
＝180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ
＝A+β+γ＝∠FAE．
又BG＝CE＝AE，FB＝FA，
∴△FBG≌△FAE，FG＝FE．
从而△DGF≌△DEF，∠FDG＝∠FDE，
同理∠DEF＝90°-β，∠EFD＝90°-γ．
定理2．如图2，在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR，使∠PBC＝∠QAC＝α，∠PCB＝∠QCA＝β，∠RAB＝∠RBA＝γ，且α+β+γ＝90°，则RQ＝RP，且∠QRP＝2α．
证明 RB绕R逆时针旋转2α至RG，连BG、AG、QG．
∵∠GBA＝∠GBR-γ
＝90°-α-γ
＝β
又RA＝RB＝RG，
即R为△ABG的外心，
∴△ABG∽△ACQ∽△BCP，
又∠BAC＝∠GAQ，
又∠RGQ＝∠AGQ+∠AGR
＝∠ABC+α+γ＝∠RBP，
∴∠RGQ≌△RBP．
∴RQ＝RP．
又因∠GRQ＝∠BRP，
∴∠QRP＝∠GRB＝2α．
以上摘自百读拿破仑吧．下面介绍一个更好想的方法：计算法
设新三个三角形的中心分别是Ｏ１ Ｏ２ Ｏ３，
设出角度及边长，表达出∣Ｏ１Ｏ２∣及∣Ｏ１Ｏ３∣的长.经计算均等于（a2+b2+c2）/6】+(abc/2*√3*R)
其中分别为三边长，Ｒ为三角形ＡＢＣ外接圆半径
有兴趣的朋友可以试试（尤其是高中朋友，可作为三角部分的练习题）
我是天津市第一中学的学生，希望爱好数学的朋友们多与我交流：sptt001@sina.com
