拉格朗日插值多项式逼近

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拉格朗日插值多项式逼近拉格朗日插值多项式逼近

拉格朗日插值多项式逼近正文

　　拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。设ƒ(x)是定义在区间【α,b】上的函数，又设x₁,x₂,…,x_n是【α,b】上的n个互不相同的点。早在1795年J.-L.拉格朗日就证明:如果在点x_K处的函数值y_K=ƒ(x_K)(k=1,2,…,n)是已知的,则存在惟一的次数不高于n-1的代数多项式l_n(ƒ,x)使得

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倘若记

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则l_n(ƒ,x)有表达式

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常称l_n(ƒ,x)为ƒ(x)的拉格朗日插值多项式，拉格朗日插值多项式逼近

为其结点组。若ƒ(x)是个次数不高于n-1的代数多项式，则l_n(ƒ,x)=ƒ(x)。l_n(ƒ,x)的几何意义是有且仅有一条n-1次代数曲线通过平面上预先给定的 n个横坐标互不相同的点。又称拉格朗日插值多项式逼近

为拉格朗日插值的基本多项式。不论在理论上还是在实用上，拉格朗日插值多项式都是一种重要的逼近工具。假设ƒ(x)在【α,b】上存在n阶导数，则l_n(ƒ,x)逼近ƒ(x)的偏差有这样的表达式

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式中ξ是【α,b】中某一与x有关的点。当然，这里对被逼近函数的要求太高，研究低度光滑函数的插值逼近是很重要的。
　　对于给定的结点组拉格朗日插值多项式逼近

记

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常称λ_n(x)为此结点组的勒贝格函数，λ_n为其勒贝格常数。如果记E_n_-1(ƒ)为次数不高于n-1的代数多项式对连续函数ƒ(x)的最佳逼近值，则

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而且有

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因此，应该选取使λ_n尽可能小的结点组，或说让诸结点拉格朗日插值多项式逼近

在【α,b】上均匀分布是合理的。但事实并非这样，即使对于函数ƒ(x)=｜2x-α-b｜,此时相应的l_n(ƒ,x)也不能实现对ƒ(x)的逼近。至于选择其他结点组,仅要求函数连续也未必可行。因为G.费伯曾经证明,对于【α,b】上的任意一列结点组拉格朗日插值多项式逼近

，n =1，2，…,都有【α,b】上的连续函数ƒ(x)，使得相应的拉格朗日插值多项式序列拉格朗日插值多项式逼近

在【α,b】上不一致收敛于ƒ(x)。此外,还有

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　　因此,选择使勒贝格函数λ_n(x)关于 n的增长速度接近于ln n的结点组序列是人们所期望的。最常用的是在【-1,1】上取切比雪夫多项式T_n(x)=cos(n arccosx)的零点全体

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作为结点组。
　　其相应的勒贝格常数不超过

于是只要函数ƒ(x)合乎迪尼－李普希茨条件

则它的拉格朗日插值多项式l_n(ƒ,x)在n →∞时，在【-1，1】上就一致收敛于ƒ(x)。这里 ω(ƒ,δ)是ƒ(x)的连续性模。用这种结点组的拉格朗日插值多项式逼近连续函数，其逼近度与最佳逼近值相比较，还有一个对数因子。如何修改插值多项式的构造以改善它的逼近性能，是人们所重视的问题。修改的办法很多，常用的是由С.Η.伯恩斯坦所提出的线性求和法。例如，令

x=cosθ (0≤θ≤π)，

定义

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或令

，定义

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如仍取T_n(x)的零点全体作为结点组,则存在绝对常数с，使得在［-1,1］上都有

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这说明，上述两种多项式对于低度光滑函数都有良好的逼近性能。
　　代替有限区间上的一致逼近，也可以考虑积分平均逼近，以及无限区间上的逼近。代替切比雪夫多项式的零点，可以考虑用雅可比多项式的零点作结点。而在周期的情况下，代替代数多项式的插值逼近自然以三角多项式的插值逼近为宜。此时，用周期区间的均匀分布的结点组是较合适的，可以建立类似于傅里叶级数部分和逼近函数的结果。