微分

微分_6分词条

微分微分
[Mathematics] differential; differentiation

微分是微积分学中除了导数之外的另一个基本概念。都是经济应用数学中的基础内容。

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微分 概述

       

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义:它表示一个微小的量,同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。

微分的思想就是一个线性近似的观念,利用几何的语言就是在函数曲线的局部,用直线代替曲线,而线性函数总是比较容易进行数值计算的,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

微分 定义

       

设函数在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,若函数的增量可表示为

微分微分
,其中A是不 依赖于△x的常数,
微分微分
是△x的高阶无穷小,则称函数
微分微分
在点x0可微的。
微分微分
叫做函数
微分微分
在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即:dy=
微分微分
。微分dy是自变量改变量△x的线性函数,dy与△y的差
微分微分
是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy称作△y的线性主部。得出: 当△x→0时,△y≈dy。 导数的记号为:
微分微分
还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为:
微分微分
得出:若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立。

微分 几何意义

       

微分几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

微分 法则

       

微分微分

 

 

 

 

 

微分 基本公式

       

微分微分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

微分 形式不变性

       

微分微分
复合函数
微分微分
的微分为:

微分微分
,由于
微分微分
,因此我们可以把复合函数的微分写成
微分微分
。不论u是自变量还是中间变量,
微分微分
的微分dy总可以用
微分微分
与du的乘积来表示,这一性质称为微分形式不变性。

附图

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