应力函数和位移函数

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应力函数和位移函数应力函数和位移函数

应力函数和位移函数正文

　　在弹性力学中，为方便求解，常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示，这些函数通常叫作应力函数或位移函数。
　　应力函数　最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σ_xx、σ_yy、τ_xy满足下列方程：

。　　 (1)

根据方程(1),可将应力分量用一个函数φ（x，y）表示为：

。　　　(2)

φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体,φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：

ΔΔφ=0，　　　　　　　　　　 (3)

式中是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σ_xx、σ_yy、τ_xy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。
　　在弹性柱体的扭转问题中,剪应力分量τ_xz、τ_yz满足下列平衡方程：

。　　　　　　　 (4)

据此可将τ_xz、τ_yz用一个函数Ψ(x，y)表示为：

。　　　　　　 (5)

Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体,Ψ满足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，　　　　　　　　　(6)

式中G为材料的剪切模量（见材料的力学性能）;θ为单位长度的扭转角。
　　位移函数　在求解弹性力学的空间问题时，也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量，但好处不多。所以，一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体，位移分量u₁、u₂、u₃满足下列平衡方程：

应力函数和位移函数

式中是空间中的拉普拉斯算符；ν为材料的泊松比；G为剪切模量；┃_i为体力分量。方程(7)的解可以表达成多种形式。一种形式为：　

应力函数和位移函数

式中ψ₁、ψ₂、ψ₃、嫓四个函数满足下列方程：

。　(9)

函数ψ₁、ψ₂、ψ₃、嫓称为布森涅斯克-帕普科维奇-纽勃位移函数。弹性力学中许多空间问题的解都是从公式(8)推导出来的。
　　方程(7)还有另一种形式的解，即

应力函数和位移函数

式中F_i满足下列方程：

。　　　　　　(11)

函数F₁、F₂、F₃称为布森涅斯克-索米利亚纳－伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题，公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x₃轴),记r为所考虑点到z轴的距离,并记位移在r、z轴上的投影分别为u、ω。若┃₁=┃₂=0，可取F₁=F₂=0，F₃=F(r，z)。这样，由公式(10)可得到：

,　　　 (12)

式中,即柱坐标中的拉普拉斯算符；F满足下列方程：　　　　　　　　

。　　　　　　　 (13)

　　公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。在求解轴对称问题时，经常利用公式(12)。
　　在┃₁=┃₂=0的情况下,即使不是轴对称问题,方程(7)的解也可用一组位移函数F、┃表示如下：

应力函数和位移函数

式中F、┃满足下列方程：

, Δ┃=0。　　　(15)

这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。