)常微分方程初值问题数值解法
根据给定的初始条件，确定常微分方程惟一解的问题叫常微分方程初值问题。大多数实际问题难以求得解析解，必须将微分问题离散化，用数值方法求其近似解。
一阶常微分方程的初值问题的提法是，求出函数 y(x)，使满足条件
(1)
就是近似解的误差，称为全局误差。因此，设计各种离散化模型,求出近似解,估计误差以及研究数值方法的稳定性和收敛性等构成了数值解法的基本内容。 离散化方法 常用的有三种：
① 基于数值微分的方法 将方程(1)左端的导数用某个一阶数值微分公式代替,例如在xn点以(yn+1-yn)/h代替yń即得到欧拉向前公式
(2)
则得到欧拉向后公式 
(3)
(4)
设计算公式有下列形式
(5)
αi、βij为待定常数。取定N值，可按上述泰勒展开的方法确定它们。最常用的显式4阶龙格-库塔公式为
(6)
(7)
(8)
(9)
单步法是指已知结点xn上yn的值便可计算yn+1的值的解法,如(2)、(3)、(4)。单步法是可以自己起步的,即可从方程的初值y0一步步算出y1,y2,…的值。
多步法是指已知yn,yn-1,…,yn-k+1(k≥2)的值才能计算yn+1的值的解法,又称k步法。例如，(8)是四步法，(9)是三步法。多步法不能自己起步,即给了初值y0以后,还要用其他解法(如单步法)，算出y1,y2,…,yk-1后,才能使用多步法，继续往下计算。多步法公式若对yi和ƒi都是线性的,则称作线性多步法，k步线性多步法的一般形式为
隐式法的公式不显含yn+1,求未知的yn+1时一般需要解方程，如公式(3)或(4)。通常用各种迭代方法解隐式差分方程,也可采用较简单的预估-校正方法，如使用梯形公式(4)时，可先用显式公式(2)求得yn+1的预估值,代入式(4)的函数ƒn+1中, 再求得yn+1的值。此法又称改进的欧拉折线法。
数值解法满足相容的、收敛的、数值稳定的条件时，才有实用价值。为此要研究以下的一些问题。
相容性 将微分方程离散化所带来的误差叫截断误差。当h→0时，截断误差趋于零，则称离散化后的方程与微分方程具有相容性，表示离散化后的方程是微分方程的近似。若截断误差的主要项为Chp+1,则称截断误差的阶是p+1,而称该解法是p阶的。p越大表示离散化后的方程与微分方程近似程度越高。
收敛性 是指当h→0时,全局误差εi→0，即离散问题的解yn收敛于微分问题的解y(x)，这是离散解可用的理论基础。p阶的解法,即是当h→0时,εi以hp的速度收敛。
误差估计 对全局误差εi的估计，是应用数值解法时最关心的问题。先验估计通常只能给出误差的阶，即误差的主要项中步长h的幂次。一般采用事后估计,即在计算的过程中估计误差，例如用理查森外推法估计误差。外推法也是提高解的精确度的有效方法。
数值稳定性 是指计算过程中，某一步上产生的误差一步一步地传递下去,是衰减、不增或有界,使得传递下来的误差不致于影响数值解的精度，至少是不会湮没数值解。数值稳定性是常微分方程数值积分时必须考虑的问题。
1956年G.达赫尔斯特证明:存在2k阶k步线性多步法，但数值稳定的k步线性多步法，当k为偶数时，其阶不能超过k+2，当k为奇数时,其阶不能超过k+1。称为限制性定理。
判别一个数值方法的稳定性时，微分方程
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许多数值稳定性的定义都以这个方程为基础。通常称它为测验方程。 
常微分方程初值问题数值解法
常微分方程初值问题数值解法
常微分方程初值问题数值解法
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刚性方程组、常微分方程组的初值问题为：
皆为n维向量。假定微分方程右端函数ƒ的雅可比矩阵
的特征值为 
且 Reλj<0(j=1,2,…,n)，当比值 
参考书目
P. Henrici,Discrete variable Methods in Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, New York, 1962.
C. W.吉尔著,费景高、刘德贵、高永春译：《常微分方程初值问题的数值解法》，科学出版社，北京，1978。(C. W. Gear,Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations,Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,1971.)
