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定积分是微积分的重要概念。德国数学家黎曼首先给予严格表述，故又称“黎曼积分”。
定积分
是一个和式的极限：把区间[a，b]分成n个小区间
，…，
，…，
，然后在每个小区间
上任取一点
，作和式
；令
，如果当
时，如果和式的极限
存在，则称这个极限值为函数
上的定积分。
即
，因此任何能写成上述和式极限的式子都能用定积分来表示。关键是确定被积函数 
以及积分变量x。
定积分
的几何意义为：它是介于x轴，函数
的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。若曲线
与直线x=a，x=b，y=0，所围成的曲边梯形的面积为A，则
(1)当
时，
；
(2)当
时，
；
(3)当
在［a，b］上有时取正值，有时取负值时，
1．用定积分定义计算定积分
步骤：（1）分割；（2）近似代替；（3）求和；（4）取极限
2．比较定积分大小
根据性质：如果在区间［a，b］上，恒有
，则
。
因此，关键是比较被积函数的大小。
3．估计定积分的值
根据性质：如果m和M分别是
在区间［a，b］上，上最小值和最大值，则
。因此，关键是找出被积函数在积分区间的最小值和最大值。
规定 (1) 当a=b时，
(2) 当a>b时，
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即
（k为常数）
性质3 定积分的区间可加性
若a
性质4
因f(x)≡1，所以
性质5 若在区间[a，b]上，
则
。
性质6 设M及m分别是
在［a，b］上的最大值及最小值，则
若函数
在［a，b］连续，且F（x）为
在区间［a，b］的原函数，则
由微分中值定理：
，使得
几何意义:
设
在［a，b］上连续。存在一点
，使曲边梯形的面积
与矩形面积
相等。
由积分第一中值定理：若
在［a，b］上连续，则
在［a，b］可取到其在［a，b］的平均值。
定积分的换元法
设函数f(x)在区间[a，b]上连续；函数g(t)在区间[m，n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m，n]上变化时，x=g(t)的值在[a，b]上变化，且g(m)=a，g(n)=b；则有定积分的换元公式：
定积分的分部积分法
设u(x)、v(x)在区间[a，b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv'，分别求此等式两端在[a，b]上的定积分，并移向得：
上式即为定积分的分部积分公式。
在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于定积分了。为此对定积分加以推广，也就是———广义积分。
一：积分区间为无穷区间的广义积分
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限
存在，则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分，记作：
即：
＝
。
此时也就是说广义积分
收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分
发散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a<b.如果极限
存在，
则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分，记作：
即：
＝
。
此时也就是说广义积分
收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分
发散。
如果广义积分
和
都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分，记作：
即：
＝
。
述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。
二：积分区间有无穷间断点的广义积分
设函数f(x)在(a,b]上连续，而
.取ε>0，如果极限
存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作：
即：
＝
，这时也说广义积分
收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分
发散。类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而
。取ε>0，如果极限
存在，则定义
=
；否则就说广义积分
发散。
又，设f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而
，如果两个广义积分
和
都收敛，则定义：
＝
＋
。否则就说广义积分
发散。
