)多目标规划
数学规划的一个分支，研究多于一个的目标函数在给定区域上被同等地最优化（极小化或极大化）的问题（称为多目标最优化或向量极值）。
多目标极小化问题通常记为(VMP)
,
是给定的一个向量值目标函数，T表示转置,
表示在区域 X上的函数ƒ1(x),ƒ2(x),…,ƒm(x)被同等地极小化。 若(VMP)中的ƒ(x)是x的线性(向量)函数，X是R中的多面体，则相应的问题称为多目标线性规划问题。若(VMP)中的ƒ(x)是x的非线性(向量)函数，或X不是R中的一个多面体，则称为多目标非线性规划问题。对于多目标规划，解的定义是一个非常重要的问题。
有效性 亦称帕雷托最优性，有时也称为非劣性或非受控性或可采纳性,是T.C库普曼斯于1951年引入的。命名为帕雷托最优性是为了纪念法国经济学家V.帕雷托首先提出多目标最优化的思想。由于向量序不是完全序，因而对于问题(VMP)一般不存在x∈X使所有的ƒi(x)(i=1,2,…,m)同时达到极小。因此,单目标问题的最优解概念在这里已不适用，而代替它的则有有效解、弱有效解和非劣解等概念。如果
∈X,且不存在其他的可行点x使得ƒ(x)≤ƒ(),则称为（VMP）的有效解（这里“≤”表示向量的每一分量间都是“≤”且至少有一个分量间是“<”,而“<”表示它们的每一个分量间都是“<”）。有效解也叫做帕雷托最优解或非劣解。如果塣∈X, 且不存在其他的可行点x使ƒ(x)<ƒ(),则称为(VMP)的弱有效解。设ƒ把X映射到R中的可达目标集Y=ƒ(X)。若Y是一紧集，则问题(VMP)的有效解和弱有效解存在。 一个多目标规划问题通常存在许多个有效解。在自然序意义下，因各有效解之间相互不能进行比较。因而要在它们之中加以选择，就需要引入一个偏爱序。这相当于要从决策者那里得到另外的信息。如何选取这种另外的信息以提炼成一种偏爱模式，并且在某种偏爱关系的基础上建立起有关的数学理论，是多目标规划研究的一个重要课题。
1968年A.M.日夫里翁引进了真有效解概念:如果
是(VMP)的有效解,且存在一数值M>0,使得对于满足ƒi(x)<ƒi()的每一i和每一x∈X,至少存在一个使 ƒi（x）>ƒ(j)的j(1≤j≤m)有【ƒi()-ƒi(x)】/【ƒj(x)-ƒj()】≤M,则称为问题(VMP)的真有效解。在多目标规划的研究中,还引入了一些其他意义下的解的概念,如局部有效解、库恩-塔克尔意义下的有效解等。对这些解的性质及其相互关系已进行了若干探讨，例如，对伪单调多目标规划、凸多目标规划已研究了有效解的性质，并建立了一些关于有效解和弱有效解的判别准则。在多目标规划的研究中,目标空间并不限于欧氏空间R，例如,目标函数是表示一国经济增长的一个动态模型的所有轨线，则目标空间就是一个希尔伯特空间。目前，目标空间是抽象的巴拿赫空间或希尔伯特空间的情形，已有不少研究。 一个与多目标问题(VMP)相关联的单目标问题(Pλ)
是引人重视的,其中λi叫做权系数,
叫做权向量。通常要求权系数满足
或‖λ‖=1(依R中任意选定的模)使之规范化。记
,
，则有以下的基本定理：
设∈X是(Pλ)的最优解，λ∈Λ，则是(VMP)的弱有效解；若X是凸集,ƒ(x)是X上的凸函数，且是(VMP)的弱有效解,则存在某一λ∈Λ使是(Pλ)的最优解。若λ∈Λ，是(Pλ)的最优解,则是(VMP)的真有效解;若X是凸集，ƒ(x)是X上的凸函数,且是(VMP)的真有效解，则存在某一λ∈Λ使是(Pλ)的最优解。
通过带权系数的问题(Pλ)，可以把非线性规划的许多结果移置到多目标规划中来。权系数是一种类型的拉格朗日乘子，利用线性泛函来分离集合的一切理论都可用于此处。对无限维的情形,对鞍点和对偶定理都可进行研究。从计算方法上来说,求(VMP)的有效解或弱有效解,可归为求参数规划问题 (Pλ)的最优解。当λ遍迹Λ 或Λ时,将产生所有的有效解或弱有效解。但是,对于(VMP)的一个给定的有效解或弱有效解，选择一个适当的权向量λ并非易事。这是用权系数求解的弱点。
以下定理在实用中可以检验一个点的有效性，并用来产生一个有效解或判定问题的有效解不存在。
其中塣是X中的一个给定点。①塣是 (VMP)的有效解的充分必要条件为塣是(P)的最优解。②若Ψ是有限的,并且∈X是(P?/I>)的最优解，则是（VMP）的有效解。③若X是凸集,ƒ(x)是 X上的凸函数,问题(P)无有限的最小值存在，则(VMP)不存在真有效解。这些结果是R.E.温德尔和D.N.李于1977年得到的。
1978年，H.P.本森给出有效解与真有效解之间关系的一个结果:设ƒ(x)是凸集X上的凸函数,S={s∈R|s≤ƒ(x)对某一x∈X成立}是闭集,则任意非真有效解必是某一真有效解序列的极限。此外,用K表示所有有效解的集合,Kp表示所有真有效解的集合，若ƒ(x)在闭凸集X上是连续的和凸的，则有关系 
,其中一横表示闭运算。
1.化多为少的方法，即把多目标规划问题归为单目标的数学规划(线性规划或非线性规划)问题进行求解，即所谓标量化的方法，这是基本的算法之一。
① 线性加权和法 对于多目标规划问题(VMP)，先选取向量
，要求λi>0(i=1,2,…,m)和
，作各目标线性加权和 
，然后求解单目标数学规划问题
, （1）
是问题(1)的最优解，则可以证明是问题(VMP)的有效解。若选取向量λ≥0，则相应的问题(1)的最优解是多目标规划问题(VMP)的弱有效解。 向量λ的各个分量λi(i=1,2,…,m)通常叫做权系数。它的大小反映了各相应分目标在问题中的重要程度。一般，对权系数的不同选取,可以得到问题(VMP)的不同的有效解或弱有效解。如何选取权系数，对于不同的问题可以有不同的处理方法。 ② 理想点法 为了求解多目标规划问题（VMP），先依次极小化各个分目标。设求得第 i个目标的极小值
，则得到R中的一个点
。由于点ƒ
的各个分量对于相应的分目标而言是最理想的值,故称ƒ为问题（VMP）的理想点。选取权系数λi>0（i=1,2，…，m），并作偏差（函数）
，最后求解数学规划问题 
。 （2）
。这种情形，理想点法也叫做最短距离法。 2. 分层求解法 对于问题（VMP），假若目标函数
的各个分目标可以按其在问题中的重要程度排出先后次序，并设这个次序为：ƒ1(x),ƒ2(x),…，ƒm(x)。先对第一个目标进行极小化：
，设得到的最优解为x。然后,按下述格式依次分层对各目标进行极小化： 
(3)
式中
。设k=m时得到问题(3)的最优解x，则在每一
的条件下，x是多目标规划(VMP)的有效解。在实用中,为了保证每一,常把上述Xk中的等式约束作适当的宽容，即给出一组所谓宽容量 δi(i=1,2,…，m-1),并以
代替 (3)中的Xk。在δi>0的条件下，由
k代替Xk所得到的x是多目标规划(VMP)的弱有效解。
3.其它方法
对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
多目标最优化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年，H.W.库恩和A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题,引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963年，L.A.扎德从控制论方面提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。
参考书目
A.M.Geoffrion, Proper Efficiency and the Theory of Vector Maximization，Jaurnal of MatheMatical Anal ysis and Applications,22,1968.
H.P.Benson, Existence of Efficient Solutions for Vector Maximization Problems，Jaur.，Opti.Theory Appl.26,4,1978.
C.L.Paid Hwang and A. S. M. Masnd，Multiple Objective Decision Making-method and Application(Lecture Notes in Economics and MatheMatical Systems), Springer Verlag, Berlin, 1979.
