)多元微积分学
关于多元函数的微积分学，是微积分学的一个组成部分。它是体现在一元函数的微分学和积分学中的基本概念和计算方法在应用到多元函数的情形的发展。在这发展中，基本概念都被推广到多元的情形，而计算方法则被化归到一元的情形。从而计算仍旧是在实数范围内进行。这样，多元微积分学的基本任务便在于，以一元微积分学为基础，来阐述其中基本概念和计算的规律对于任意多个变量的函数仍然一致有效，同时分析由于变量个数的增多而带来的特点。
把一元函数的研究扩展到多元函数
的这两个基本任务,都在n=2的情形中便已表现出了它们的一般性；所以主要就二元函数u=ƒ(x,y)进行叙述，只是在进一步展示新的特点有需要时才考虑n=3的情形。 多元微分学 一元函数微分学到多元函数的扩展。
连续性 设在同一个过程中,变量u随着变量x和y而变化，就称u为x和y的一个函数，记为
。
。
。 (1)
如图1
,当动点P由一个位置 P(x,y)变到另一个位置P1(x1y1)时,这变化由它的位移向量
来刻画,这变化的大小便由这向量的长度
来度量。相应的u的变化
，其大小由|Δu|来度量。于是多元函数(1)在一点P 处的连续性也同一元函数的一致,即在P1无限趋近于P的过程中，｜Δu｜随着｜ΔP｜而无限变小。这就是说，对于每一个正数ε都存在一个正数δ使得 
。 (2)
函数(1)的连续性，作为一个局部性质，它在S的每个内点处都可以分解成一元的情形。如图2
，只要函数(1)在一点P的某个领域(δ)内处处连续,则（根据上述基本性质）必定在其内部的一个方邻域 【δ】上一致连续,而在这个方邻域上的变化量具有图1所启示的向量分解式 
， (3)
,
分别作为一元函数 
(4)
偏导数 连续性(2)的进一步研究,是要在变化量分解式(3)的基础上，利用一元函数(4)来阐明，在｜ΔP｜趋向0的过程中，变化量Δu随 Δx、Δy趋向0的依赖关系。这就要用到一元函数(4)的变化率，即导数g
(x)、h(y)。假定它们在P(x,y)的附近都存在，并分别记为ƒ
(x,y)。ƒ
(x+Δx,y)通常也写成 
，
连续时，可以进一步写成 
， (5)
全微分 分解式(5)表明，在点P 处，变化量 Δu随着Δx、Δy 趋向0的过程中，存在着近似线性的依赖关系
， (6)
。 (7)
不过,公式(6)的推导已经表明，这些偏导数的连续性可以保证微分存在。这时就说函数是连续可微的。最基本的连续可微函数就是自变量本身作为 P=(x,y)的函数：
。 (8)
。 (9)
变量替换 在微分形式(9)中,变量x、y既然当作动点P的函数，如(8)所示,它们也就是动点P在任一别的坐标系(r,s)中的坐标的函数：
。 (10)
(11)
(12)
。
变量替换(10)规定了一个坐标平面上的动点P(x,y)随着另一坐标平面上的动点Q(r,s)而变动，因而定义了一个函数T:P=T(Q)。这样，函数组(10)便被表示成一个函数。它经过微分转化成的线性（微分）方程组(11)可以缩写成一个矩阵方程
。
。 (13)
如果(8)中的动点 P是在一个三维坐标空间(r,s,t)中，则(10)中的函数应是三元的：
。
(14)
多元积分学 一元函数积分学到多元函数的扩展。
重积分 一元函数的定积分，作为黎曼积分和的极限，推广到二元函数(1)几乎是直接的。这里,积分区间，作为自变量的变化范围,换成了两个区间X(α≤x≤A)和Y(b≤y≤B)，它们的乘积R=X×Y是包含有界闭区域S的（各边平行于坐标轴的）最小的矩形（图3
）。对于R上不属于S的点，取函数值为0,并仿照一元的情形作黎曼和数 
。
。
在可积的前提下，二重积分可以写成
, (15)
面积微分dR=dxdy,作为一个微小矩形的面积，在坐标变换(10)之下由这变换的微分形式(11)来确定，成为一个以向量
和 
为一对邻边的平行四边形的面积，即行列式 
。
。 (16)
=(α≤r≤A)×(b≤s≤B)上的连续可微的函数，而以(r,s)作为P的一种新的坐标（曲面坐标）。这里 S的微小矩形（Δr）×（Δs）对应着 S上的微小曲面四边形 ΔS，后者的面积关于前者的面积 ΔrΔs 的线性主要部分便是曲面的面积微分dS。它等于以切线向量
和
为一对邻边的平行四边形的面积： 
,
, 
。 
。
。 (17)
线积分 如果我们类似地考虑空间中一条光滑的(或逐段光滑的)曲线C上关于弧长的微分ds的积分
,
,
, (19)
公式(15)～(19)表明，定积分在概念上的各种推广，在计算上仍都能回到定积分。
基本公式 定积分，作为微分之逆，到各种积分的推广,导致这互逆关系的基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)的推广。这公式的意义在于，函数的导数经过积分运算之后，便消去导数中所含的微分运算而返回到原来函数的差分，起着化简的作用。我们现在先考虑嬠w/嬠z，积分区域取为一个椭球体V。用R 表示V 在 xy平面上的垂直投影，S1和 S0表示上下边
界面，S 表示全部边界面，
表示其单位外法向量（图4）。如果这偏导数在V 上处处存在并且可积，则其三重积分可以像二重积分(15)那样分解，然后通过牛顿-莱布尼茨公式转化为边界S上的曲面积分： 
奥斯特罗格拉茨基公式：
, (20)
取V=S0×(0,1),u=u(x,y),υ =υ(x,y),w=0,这公式就化成二维空间中的奥氏公式：
, (21)
,
, (22)
(23)
在组成S的每一光滑片段上是随起点(x,y,z)而连续变动的，它到这片区域的外法向量、再到边界曲线的切线向量所构成的螺旋转向同正z轴到正x轴、再到正y轴的螺旋转向是一致的，并且任何相邻两片段的定向在边界曲线的公共部分上是相反（相消）的。 由这个公式推知,在开区域V内，若要一个带连续系数的微分式Pdx+Qdy+Rdz恰好是某一函数的全微分,就必须它的系数满足恒等式
(24)
历史上，多元微积分学的基本概念都是在微分与积分的基本思想的应用中，与一元函数的合为一体，适应描述和分析物理现象和规律的需要而产生的。偏导数、重积分的朴素思想（I.牛顿，1687），二重积分及其累次积分与换元计算方法（L.欧拉，1769），三重积分及其累次积分与换元计算方法（J.-L.拉格朗日,1773）都是初期出现在力学研究的著作中，并不是有意识地要建立相关的数学理论。牛顿-莱布尼茨公式的两种形式(20)和(21)都延迟了一个时期才明确出现在热传导和电磁的研究中（M.B.奥斯特罗格拉茨基,1828；G.格林,1828），且是作为物理定理来理解的。变量替换中的雅可比行列式也延迟到微积分的理论分析开展起来以后，才获得明确的概念和系统的研究（C.G.J.雅可比1833、1841，奥斯特罗格拉茨基1834），而变量替换中隐含着的曲线坐标则同时延迟到热传导和电磁的研究中问题求解的需要和物理意义的启示达到相当明朗的程度，才获得明确的概念和系统的研究（G.拉梅1833、1859）。只有斯托克斯公式是作为格林公式的理论应用来叙述的（L.开尔文，1850；G.G.斯托克斯，1854）。不过这时微积分学已由于它的理论分析的发展而成为一门自立的学科了。
总的说来，多元微积分学是在微积分的基本思想的应用和发展中自然地、水到渠成般地形成起来的。
