)基础数学
奇数—因子定理的提出与证明
摘要：这个定理的依据是，从奇数的基本结构切入，根据奇数—因子—方差它们之间相互的依赖关系，归纳的一种数与数之间客观存在的一般规律。
关键词：证明、奇数、因子、方差、定理。
引言：这是数学基础领域里的一个重大发现，简单地说，是勾股定理理论的一种延伸。到目前为止，任何一本教科书上，未曾记载、又是极其简单、易证明，却往往被人们忽视的一个问题，其作用不得小视。
定理1 任意一个≥3的奇数a，至少可以组成一组两整数的平方差。分解这个奇数a的因子，若a能分解成m组互不相等的两整数之积，则这个奇数a就一定且至多能组成m组两整数的平方差。
a^(2k+1)=a^(2k+1-j)×a^j。 注：j=0,1,2,…k。 m=k+1，a≥3，且为素数。
a^(2k+1)={[a^(2k+1-j)+a^j]/2}^2-{[a^(2k+1-j)-a^j]/2}^2。
定理2 一个≥3的奇乘方数a^n（n≥2），若将a^n分解为两整数的齐次方差，至多可以分解为一组或多组存在的不同形式，且与a^n等值的两整数平方差。
1、a^(2k+1)≡a^2k[（a+1）/2]^2-a^2k[（a-1）/2]^2；
2、a^2k≡a^2(k-1)[（a2+1）/2]^2-a^2(k-1)[（a2-1）/2]^2。
注：式中k=0,1,2,3,…。（这是最常见的一种基本形式）
一、一般奇数的证明：
证明一 当a为素数，a只能分解成a＝a×1；a≥3。
∵ x+y=z ∴ x=[z^(1/2)-y^(1/2）][z^(1/2)+y^(1/2）]
令：a＝x；则a≡[z^(1/2)-y^(1/2）][z^(1/2)+y^(1/2）]。
恒等代换：z^(1/2)-y^(1/2)≡1；z^(1/2)+y^(1/2)≡a。
∴ y＝[（a-1）/2]^2；z＝[（a+1）/2]^2。
证明二 a＝a1a2；（a1＞a2）分解：⑴a＝a1a2×1；⑵a＝a1×a2。
⑴ 恒等代换：z11/2-y11/2≡1；z11/2+y11/2≡a1a2。
∴ y1＝[（a1a2-1）/2]2；z1＝[（a1a2+1）/2]2。
⑵ 恒等代换：z21/2-y21/2≡a2；z21/2+y21/2≡a1。
∴ y2＝[（a1-a2）/2]2；z2＝[（a1+a2）/2]2。
证明三 a＝a1a2a3；（a1≠a2≠a3；a1a2＞a3；a1a3＞a2；a2a3＞a1）
分解：a＝a1a2a3×1；a＝a1a2×a3；a＝a1a3×a2；a＝a2a3×a1。
⑴ 恒等代换：z11/2-y11/2≡1；z11/2+y11/2≡a1a2a3。
∴ y1＝[（a1a2a3-1）/2]2；z1＝[（a1a2a3+1）/2]2。
⑵ 恒等代换：z21/2-y21/2≡a3；z21/2+y21/2≡a1a2。
∴ y2＝[（a1a2-a3）/2]2；z2＝[（a1a2+a3）/2]2。
⑶恒等代换：z31/2-y31/2≡a2；z31/2+y31/2≡a1a3。
∴ y3＝[（a1a3-a2）/2]2；z3＝[（a1a3+a2）/2]2。
⑷恒等代换：z41/2-y41/2≡a1；z41/2+y41/2≡a1a2。
∴ y4＝[（a2a3-a1）/2]2；z4＝[（a2a3+a1）/2]2。
推论 以上三组简单的证明足以表明定理1存在。当奇数a为4个或4个以上因子的合数时，无论因子是否相等，用同样的方法先分解a，只要a能分解成m组互不相等的两整数之积，就一定有m组整数的平方差存在。需指出的是，有条件的情况下，应比较分解后同组两整数之大小，无条件时也无重大影响，只是取y的平方根时须注意。
二、对奇数的任意乘方予以证明。略
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