司寇伦定理

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司寇伦定理司寇伦定理

司寇伦定理正文

　　模型论中的一条重要定理。它的发展了的形式通常也被称为勒文海姆-司寇伦-塔尔斯基定理,简称LST定理。在一阶模型论中，LST定理的含义是：设一阶语言L中所能表达的语句个数为 λ（是一个超限数）,如果L中的一个形式理论T有无限模型，则T有基数为任何 α≥λ 的模型。在非一阶模型论中， LST定理不一定成立。
　　由于这个定理，在讨论问题时可以改换不同基数的模型而不影响所关心的理论T。例如，在用个体常量0,1；个体变量；函数符号+，×；关系符号=；命题连接词及量词所表达的一阶语言中,令T表示在对上述诸符号的通常解释下被整数环 I所适合的一切语句组成的集合（称为I的完备理论），则由于I是T的无限模型，由LST定理可知T有基数任意大的无限模型。这些模型显然都与I具有完全相同的一阶性质，除I自身外，其他模型都称为T的非标准模型。同理可知，存在着基数任意大的无限模型，它们分别与有理数域、实数域、复数域等具有完全相同的一阶性质。这些非标准模型往往有助于研究通常的标准模型。此外，还可顺便看出，任何一个无限模型，如整数环、有理数域、实数域、复数域等都不可能在一阶语言范围内公理化，即不存在一阶语句集T₁，使整数环是 T₁的唯一模型，等等。在公理集合论（见集合论）中，用力迫法可以证明很多集合论命题的和谐性、独立性，而在应用力迫法构作各种集合论模型时，为了方便，一般都是从一组集合论公理的一个可数模型出发。这种可数模型的存在性，就是在该组公理“有模型存在”的假设下引用 LST定理而得到的。