)十进计数制
十进计数制
十进计数制计算表十进制计数制由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数字符号组成。相同数字符号在不同的数位上表示不同的数值，每个数位计满十就向高位进一，即“逢十进一”。如：555.5可以表示成555.5＝5×100+5×10+5×1+5×（1/10）。 十进制中采用了0、1、…、9共十个基本数字符号，进位规律是“逢十进一”。当用若干个数字符号并在一起表示一个数时，处在不同位置的数字符号，其值的含意不同。 如：同一个字符5从左到右所代表的值依次为500、50、5。即(555)10 = 5×102+5×101+5×100 广义地说，一种进位计数制包含着基数和位权两个基本的因素．基数: 指计数制中所用到的数字符号的个数。在基数为R的计数制中，包含0、1、…、R-1共R个数字符号，进位规律是“逢R进一”，称为R进位计数制，简称R进制。
位权: 是指在某一种进位计数制表示的数中，用来表明不同数位上数值大小的一个固定常数。不同数位有不同的位权，某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。R进制数的位权是R的整数次幂。例如，十进制数的位权是10的整数次幂，其个位的位权是100，十位的位权是101…… 一个R进制数N可以有两种表示方法：并列表示法(又称位置计数法)，其表达式为(N)R=(Kn-1Kn-2…K1K0.K-1…K-m)R，多项式表示法(又称按权展开法)，其表达式为(N)R =Kn-1×Rn-1+Kn-2×Rn-2+…+K1×R1+K0×R0+K-1×R-1+…+K-m×R-m n-1=∑ Ki×Rii=-m 其中，R表示基数；n为整数部分的位数；m为小数部分的位数；Ki为R进制中的一个数字符号，其取值范围为0≤Ki≤R-1(-m≤i≤n-1)。
基数与权，某进制计数制允许选用的基本数字符号的个数称为基数。一般而言，J进制数的基数为J，可供选用的基本数字符号有J个，分别为0到J－1，每个数位计满J就向高位进一，即“逢J进一”。
某进制计数制中各位数字符号所表示的数值表示该数字符号值乘以一个与数字符号有关的常数，该常数称为“位权”（简称“权”）。位权的大小是以基数为底，数字符号所处的位置的序号为指数的整数次幂。
十进制数允许使用十个基本数字符号，所以基数为10，每位数字符号代表的位数的大小是以10为底，数字符号所处位置的序号为指数的整数次幂。
十进计数制运用十进位计数制简称十进制．十进制数具有下列特点：
(1)有十个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(2)每一个数码符号根据它在这个数中所处的位置（数位），按“逢十进一”来决定其实际数值，即各数位的位权是以10为底的幂次方。例如：数(123.456) 10
(123.456)10＝1×102＋２×101＋３×100＋4×10-1＋5×10-2+6×10-3
由上述分析可归纳出，任意一个十进制数K，可表示成如下形式：(K)10＝Kn-1×10n-1＋Kn-2×10n-2＋…＋K1×101＋K0×100＋K-1×10-1＋K-2×10-2＋…＋K-m+1×10-m+1＋K-m×10-m ，中K为数位上的数码，其取值范围为0-9；N为整数位个数，M为小数位个数，10为基数，10n-1，10n-2…，101，100，10-1，…，10-m是十进制数的位权。在计算机中，一般用十进制数作为数据的输入和输出。
R进制转换成十进制
任意R进制数据按权展开、相加即可得十进制数据。例如：N = 1101.0101B = 1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125 ，N = 5A.8 H = 5*161+A*160+8*16-1 = 80+10+0.5 = 90.5
十进制转换R进制
十进制数转换成R进制数,须将整数部分和小数部分分别转换。整数转换----除R 取余法规则：用R去除给出的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R进制数据的整数部分最低位数字；再用2去除所得的商，取其余数作为转换后的R进制数据的高一位数字；第三步重复执行第二步操作，一直到商为0结束。 例如：115转换成 Binary数据和Hexadecimal数据，所以 115 = 1110011B = 73H
小数转换-----乘R取整法 规则：（1）用R去除给出的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R进制小数点后第一位数字；（2）再用R去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R进制小数的低一位数字；（3）重复（2）操作，一直到乘积为0，或已得到要求精度数位为止。
十进计数制运算新世纪（版）小学数学的算法多样化，第一次是在一年级上册“牛奶有几瓶”的活动中出现的。借助下面现实的问题情境，探索9 + 5的算法。
①第一箱5瓶，第二箱就从第6瓶数起，一直数到第14瓶。
②从第一箱拿出1瓶放入第二箱，就知道牛奶一共有14瓶。
③也可以从第二箱拿出5瓶放入第一箱，也就知道牛奶一共有14瓶。
④从别处借来1瓶牛奶把第二箱装满，这时两箱牛奶共15瓶，再还掉1瓶，所以原来两箱牛奶共有14瓶。
⑤列算式算：9+1=10，10+4=14。
⑥5+5=10，10+4=14。
⑦9+1=10，10+5=15，15-1=14。
上述七种算法，客观地反映出学生如下三种表征方式与认知水平：
表征方式 认知水平 算法序号
动作表征 操作水平 ①
图形表征 表象水平 ②③④
符号表征 分析水平 ⑤⑥⑦
面对如此多姿多彩的算法，教师该怎样进行价值引导呢？由于这些算法都与具体学生当下的认知水平相适应，并且都解决了所面临的实际问题，因此都是有价值的，都应该给予肯定。然而，教师的责任在于指引学生从已有的认知水平向新的水平发展。这就必须让学生明白各种水平的算法的特点或优点。
操作水平与表象水平的算法都很直观，这是它们的优点。从表象水平的不同算法中能够看到具体而又不同的思维过程；“凑十”的思维对象实际上就是“十进计数制”的位值概念，而位值概念的形成，是建构数的意义的重要的发展；至于分析水平的算法，优点是它的思维能借助抽象的符号进行表达，因此有助于克服仅依赖动作与图形进行思考与表达的局限性。但是符号表征是必须以表象为基础和支撑的，因此，必须让学生体会到：上述三种分析水平的算法不过是对相应的三种表象水平算法的概括与抽象罢了。也就是说，任何一种表象水平的算法，都可以用数学符号“翻译”为“形式化”的算法。
教师应该鼓励学生在探索算法的时候，充分地通过摆小棒、画图形等探索活动促进思考，然后把发现的算法用数学符号（算式）表达出来。
[1] 龙赛网 http://lszx.zhedu.net.cn/wlkt/ShowArticle.asp?ArticleID=615[2] 进位计数制网 http://www.hust-snde.com/hust/html/kjys/shuzi/szljjy1-2-1.htm
