勾股定理

 

直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理指出：

    直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

也就是说，

    设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么

        a + b = c

勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

一种证明方法的图示：左右两正方形面积相等，各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等

勾股定理的美妙证明

证明[广西梁卷明的证法]：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合！
故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得：  a的平方 + b的平方 = c的平方.

  

勾股数组是满足勾股定理a + b = c的正整数组(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a = m − n,b = 2mn,c = m + n，其中

。
公元前500-200年，《周髀算经》的图解《勾股圆方图》 [1] 梁卷明 http://www.shxjjw.com/ns_detail.asp?id=500197&nowmenuid=500036

 

勾股定理 - 历史上的勾股定理

　定理：
　　如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a^2+b^2=c^2； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。古埃及人利用打结作RT三角形
　　如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=X×X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
　　勾股定理的来源：
　　毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
　　常用勾股数3 4 5;6 8 10;5 12 13;8 15 17
　　毕达哥拉斯有关勾股定理书籍
　　《数学原理》人民教育出版社
　　《探究勾股定理》同济大学出版社
　　《优因培教数学》北京大学出版社
　　《勾股书籍》 新世纪出版社
　　《九章算术一书》
　　《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
　　《几何原本》 （原著：欧几里得）人民日报出版社
　　毕达哥拉斯树
　　毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
　　直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
　　两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。
　　利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论：
　　三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。