)加法器
加法器设一个n位的加法器的第i位输入为ai、bi、ci，输出si和ci+1，其中ci是低位来的进位，ci+1（i=n-1，n-2，…，1，0）是向高位的进位，c0是整个加法器的进位输入，而cn是整个加法器的进位输出。则和
si=aiii+ibii+iici+aibici (1)
进位ci＋1=aibi+aici+bici (2)
令 gi=aibi， (3)
pi=ai+bi， (4)
则 ci＋1= gi+pici (5)
只要aibi=1，就会产生向i+1位的进位，称g为进位产生函数；同样，只要ai+bi=1，就会把ci传递到i+1位，所以称p为进位传递函数。把式(5)展开，得到：ci+1= gi+ pigi-1+pipi-1gi-2+…+ pipi-1…p1g0+ pipi-1…p0c0(6) 。
随着位数的增加式(6)会加长，但总保持三个逻辑级的深度，因此形成进位的延迟是与位数无关的常数。一旦进位（c1~cn-1）算出以后，和也就可由式（1）得出。
使用上述公式来并行产生所有进位的加法器就是超前进位加法器。产生gi和pi需要一级门延迟，ci 需要两级，si需要两级，总共需要五级门延迟。与串联加法器（一般要2n级门延迟）相比，（特别是n比较大的时候）超前进位加法器的延迟时间大大缩短了。
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| 半加器（上）和全加器（下） |
半加器有两个输入和两个输出，输入可以标识为 A、B 或 X、Y，输出通常标识为合 S 和进制 C。A 和 B 经 XOR 运算后即为 S，经 AND 运算后即为 C。
全加器引入了进制值的输入，以计算较大的数。为区分全加器的两个进制线，在输入端的记作 Ci 或 Cin，在输出端的则记作 Co 或 Cout。半加器简写为 H.A.，全加器简写为 F.A.。
半加器：半加器的电路图半加器有两个二进制的输入，其将输入的值相加，并输出结果到和（Sum）和进制（Carry）。半加器虽能产生进制值，但半加器本身并不能处理进制值。
全加器：全加器三个二进制的输入，其中一个是进制值的输入，所以全加器可以处理进制值。全加器可以用两个半加器组合而成。
注意，进制输出端的最末个 OR闸，也可用 XOR闸来代替，且无需更改其余的部分。因为 OR 闸和 XOR 闸只有当输入皆为 1 时才有差别，而这个可能性已不存在。
加法器可以改进超前进位电路，使其具有规则性。对于一个n位（n>4）的加法器，按4位一组的形式对其分组，组内实行超前进位，组间也实行超前进位。相应地超前进位逻辑需要分级，级的数目L=Log4(n)。如图1所示，第m(0～n-1)位的g,p可以表示为：g4k+j=a4k+jb4k+j，p4k+j=a4k+j+b4k+j；k为(m/4)的商，代表组的位置；j为余数，代表该位在该组中的位置。各个4位CLA的组进位产生函数G4k+3, 4k = g4k+3 + p4k+3 g4k+2 + p4k+3p4k+2g4k+1 +p4k+3p4k+2p4k+1g4k ；组进位传递函数P4k+3, 4k = p4k+3 p4k+2 p4k+1 p4k ；组进位C4k+4 = G4k+3, 4k + P4k+3, 4k c4k。
每个4位的CLA模块分别计算各组内每一位的p、 g和组间的P、G，第二级LACG（look ahead carry generator）根据各组（包含第一级LACG逻辑）的P、G和c0计算出各组间的进位C4k+4 ，同样，第三级LACG则根据第二级的P、G和c0计算出向高4组的进位C16k+16，依此类推。计算出的所有组进位都要送回各个4位的CLA模块，并行算出每一位的和。
改造后，CLA的延时包括：用式(3)和式(4)产生pi和gi的1级门延时；用超前进位电路产生所有进位的2(2L-1)级门延时；用 (1) 式计算si的2级门延时。于是总的延时为[2] ：
Delay(CLA adder)=1+4Log4(n) (7)
与简单的串联加法器相比，超前进位加法器需要较多的逻辑电路来产生进位位。但它的延迟时间的数量级为log4(n)。当n较大时，速度的改进是很明显的。
逻辑优化设计的主要目的是减少信号的翻转活动[3]，它通过将电路的逻辑功能尽可能的分解、优化， 减少逻辑深度，减少信号假翻转，从而使翻转活动最小，减小电路的功耗。
令gsi=ai⊙bi ，则式（1）可以改写为si= gsi⊙ci ，先考察第一组CLA
s0=gs0⊙c0 (8)
s1=gs1⊙c1=gs1⊙(g0+p0c0) (9)
s2=gs2⊙c2=gs2⊙(g1+p1g0+p1p0c0) (10)
s3=gs3⊙c3=gs3⊙(g2+p2g1+p2p1g0+p2p1p0c0)(11)
因为g, p的值只有“00”、“01”、“11”这三种组合，结合布尔代数性质A⊙0=、A⊙1=A可知，s3的值最终可以归结为3个表达式：gs3, 3和(gs3⊙c0)，同样，s2值的3个表达式为gs2, 2和(gs2⊙c0)，s1为gs1, 1和(gs1⊙c0)。于是式(8)至式(11)就可以化为
s0=c0(gs0)+ 0 (0) (12)
s1=c0(gs1⊙p0)+0(gs1⊙g0) (13)
s2=c0(gs2⊙(g1+p1p0))+ 0 (gs2⊙(g1+p1g0))(14)
s3=c0(gs3⊙(g2+p2g1+p2p1p0))
+0(gs3⊙(g2+p2g1+p2p1g0)) (15)
其他组，如s4~s7、s8~s11等，情况和s0~s3一样。
逻辑改造后，在进位产生逻辑上可以减少一些不必要的翻转，减少了节点开关活动率，并且可以重复利用g,p积之和的相同部分，达到路径平衡的效果，可以有效地消除假翻转（glitch），同时与门和或门的最大扇入都减少了一个，较大程度地减小了功耗。
逻辑改造后，电路也应该相应地进行优化设计，因为如果用普通的门电路来实现式(12)~(15)的逻辑，晶体管数目（面积）会增加。另外，在电路级也可以采用减少节点翻转和寄生电容的方法来降低功耗。
式(12)~(15)中多处要用到同或门，设计中，我们用基于旁路的静态逻辑[4]实现产生gs的同或门，如图2。旁路逻辑通过由附加管形成的旁路，可以把“串并交错”的电路结构简化为单一的串或者并的形式。它的电路和版图都有很好的规整性，并且可以减小寄生电容。
是两种同或门N块版图不同部分的比较，（b）是基于旁路逻辑实现的，与（a）相比，少了一条金属连线和两个金属接触，使版图变得十分规整，扩散区不会被隔断。在拓扑上，两条分支用公共的漏区，达到最少的接触孔和金属互连，比“串并”和“并串”的晶体管配置方式规整，且寄生电容小。
加法器电路上的延迟值旁路逻辑不能实现传输门，因而不能用传输门实现同或和异或，但是容易证明，三态门在速度和功耗方面都比传输门优越。参照传输门的结合方式，我们用两个三态反相器和一个反相器实现了同或门。
实现了式(13)括号内的两个同或逻辑，平均只需要1级门延时，而用普通门实现的“与非或与非”形式的同或门需要2级或3级门延时。由上面的同或门设计得到启发，根据形如式(13)的逻辑，设计了一个10管单元utiandor2。
该单元电路实现s=c0CK+0CKN，只要把式(12)~(15)中的括号部分从CK和CKN输入，输出就相应得到了s0~ s3 。仅当CKN=时，电路(a)两边均是三态反相器，构成图5（b）的同或门，两个反相器交替导通，s=c0⊙CK ；当CKN=CK（发生几率比较大），左边P管和右边N管，或者左边N管和右边P管交替导通，输出s=CK，从而屏蔽了c0的变化。考察第一组4位CLA中的进位产生逻辑最复杂的s3，参考式（15），当g2,g1,g0均为0，p2,p1,p0均为1时，s3= gs3⊙c0，显然这是一种特殊情况，即低位各位都不产生进位，但可以传递进位时，直接把c0传至高位与gs同或即可产生和。c0在各位和生成逻辑的最后一级才加入，可以消除过早加入带来的不必要的翻转。左右两块交替导通，只存在下拉或上拉延时，有类似动态电路延迟小的优点。仅用了10个晶体管，比常规门实现的积之和节省8个。
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[2] OpenHW http://www.openhw.org/html/08-05/31031.shtml
