)初等常微分方程
能用微积分的方法求出其通解或通积分的常微分方程。常微分方程的通解，粗略地说就是：①它把未知函数y表示为自变量x的显函数的形式y=φ(x)，此函数满足该微分方程。②在此表达式中含有一些任意常数，其个数恰等于方程的阶数。当这些常数任意变动时即能得到方程的所有解，除了少数解是例外。③表达式适用于全空间，或至少不是局部的而是大范围的。如果在这定义中不要求①成立，即在所得的表达式中未知函数可能是自变量的隐函数形式φ(x，y)=0,则称此表达式为通积分。通解（或通积分）的严格定义，实际上就是进一步把条件②的后半部作严格的叙述，即要求：对于该表达式所适用的区域中任意给定的初始条件，必能找到任意常数的一组确定的值，使得这组值所对应的解（或积分）能够满足这个初始条件。
出现于方程中的变量x、y可以是实变量，也可以是复变量。一个解y＝φ(x)或积分φ(x,y)=0在(x，y)空间中的轨迹称为方程的积分曲线。当（x，y）为实数时，积分曲线就是（x，y）平面上的曲线。当（x，y）为复数（x=x1+ix2,y=y1+iy2）时，积分曲线是四维实空间（x1，x2，y1,y2）中的二维曲面。通解或通积分的轨迹称为积分曲线族。要求一个解或积分满足已给的初始条件，就是要求由它所确定的积分曲线通过预先给定的一点。
下面根据方程形式的不同,或阶数与个数的不同,分别作简要的介绍：
可分离变量的方程 形如
(1)
(2)
， (3)
时丢掉的解y=±1不能包含在通解 y=sin(x+C)之中。这一类丢掉的解往往是奇解。所谓奇解就是在其上处处破坏初值问题惟一性的解（见常微分方程初值问题）。 有些看上去是不能分离变量的方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。最常遇到的是齐次常微分方程
(4)
经代换y=x+u,方程
经两次代换y3=v及v=ux,均可化为可分离变量的方程。不过用这种方法有时并非易事，也并不一定都能办到。 一阶线性方程 形如
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
有些微分方程可以通过变量代换而化为一阶线性方程。最常见的是伯努利方程
(12)
。又如对方程 
可改用x为未知函数、y为自变量而化为 
又如
可借变量代换w＝arctan v而化为线性方程，等等。 黎卡提方程及其他 在常微分方程的发展史上，黎卡提方程
(13)
(14)
复变量的黎卡提方程在常微分方程解析理论中也有它的重要性，因为它是只可能有动极点而无动支点的方程，此外，它还和微分几何学与复变函数论中的一些重要问题有密切关系。
熟知的可积类型还有：①雅可比方程
(16)
个特解为已知时，它是可积分的。③第一类阿贝尔方程 
(17)
恰当方程与积分因子 满足条件
(18)
(19)
当条件(18)不满足时，如果能找到函数 μ(x,y) 使
(20)
(20)是关于μ(x,y)的一阶线性偏微分方程，求它的通解比求(19)的通解困难。但当M、N满足一定的条件时可以只求(20)的一个一元函数特解。例如，若
(21)
等形状的积分因子时所应满足的条件。 易见方程(1)实际上是借积分因子
而被化为恰当方程(2)，方程(5)满足条件(21)，故有积分因子
又当(19)为齐次方程且xM+yN扝0时有积分因子
一阶隐方程 形如
(22)
若(22)可就y┡解得若干个一阶显方程
(23)
(24)若
在求解(22)时，常记y┡为p，且以p为参数来表达积分曲线族的方程。若由(22)可解得y=ƒ(x,p)或x=φ(y,p)，取x、p(或y、p)为参数即可把(22)化成(24)的形式。又若(22)取特殊形式
(25)
如果存在常数k，使(22)中的函数F能满足
即(25)的前一方程的形式。显然当k=1时(22)是比(4)更广的齐次一阶隐方程。 一阶隐方程中，特别重要的是克莱罗方程
(26)
有时对方程(22)可使用勒让德变换Χ=y┡, Y=xy┡-y将方程变形。此变换的逆变换也具有同样的形式:
；称为对称原理。当两方程F(x,y,p)=0与F(P,ΧP-Y,Χ)=0中的任一个可求积时,另一方程的通解便可借代数方法由前一方程的通解导出。这种变换在微分方程的理论研究中也很有用处。 对于方程(22),由F(x,y,p)=0及
消去p得到的关系式φ(x,y)=0，称为(22)的p-判别式。设(22)的通积分为φ(x,y,с)=0, 则由φ(x,y,с)＝0及
消去C而得到的关系式ψ(x，y)=0称为(22)的C-判别式。如果(22)的奇解或积分曲线族的包络存在的话，其方程必同时含于p-判别式和C-判别式之中，但其逆不一定成立。一个典型的例子是 
(27)
C-判别式为x(x-α)＝0,p-判别式为
是奇解，也是积分曲线族的包络。但x=α是结点轨迹,不是(27)的解；
是切点轨迹，也不是(27)的解。若α=0，则x=0成为积分曲线族
的尖点轨迹，它也不是方程4p2=9x的解。 高阶方程 一般形式为
(28)
=ƒ(x)，对 x积分n次即得通解。②y″=ƒ(y)，此方程有明显的物理学意义。以 2dy乘之，积分，得：
它表示能量守恒律，再积分即得通解。③F(x，y
,…,y)＝0可借代换z=y降阶k次。④F(y,y┡,…,y)=0，可改取y为自变量，y┡=p为未知函数而降阶一次。⑤ F(x,y)＝0，若能找到方程的参数表示式x＝φ(t)，y=ψ(t)，便可将y逐次对x积分而得出通解的参数表示式。⑥若F 对 y,y┡,…,y为齐次函数，即F(x，ty，…，ty)=tmF(x，y，…，y)，则可借代换z=y┡/y而把（28）降阶一次。⑦像一阶恰当方程一样，(28)有时也可表为 
(29)
且M、N满足条件(18)，则(29)即为恰当方程。特别，二阶线性方程 y″+p(x)y┡+q(x)y+r(x)=0，当q(x)=p┡(x)时为恰当方程。 方程组的初等积分法 方程组
(30)
(31)
它和前两个首次积分一起就构成(31)的通积分。有时用不同的方法可得不同的首次积分，但可证明(30)的独立的首次积分最多只有 n个。又若能用上述方法求得(30)的k个独立的首次积分,就可以利用它们来把(30)降为只 含n-k个未知函数的方程组。一般，由实际问题导出的方程组要想用初等积分来求得通解往往是办不到的。例如在天体力学中，由三体问题建立的一阶方程组含有18个方程，而人们只能找到它的10个独立的首次积分。即使对平面限制性圆形三体问题的最简单情况，通积分也还未求出来。
