)初等函数
包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。
实变量初等函数 定义域为实数域的初等函数。
有理函数 实系数多项式
(1)
其图形为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。 求有理函数的反函数则可产生代数函数。如y=xn的反函数为
和
它们的定义如图1
所示。sinx和cosx在 x=0处的泰勒展式为 
(2)
(3)
。sinx、cosx、tanx、cotx 、secx 、cosecx的反函数分别为 arcsinx、 arccosx、 arctanx、arccotx、arcsecx、arccosecx(或记为sin-1x、 cos-1x、tan-1x、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),并称为反三角函数。 指数函数和对数函数 设α为一正数，则y=αz表示以α为底的指数函数（图2）。其反函数y＝logαx称为以α为底的对数函数(图3)。特别当α=e时称y=ez（或expx）和y=logαx=lnx（或logx）为指数函数和对数函数。logx能由下面的积分式定义
、下由t轴、左右分别由t=1和t=x两直线所围的面积。由此可知当x在正实轴上变化时，y=logx取值在实轴上，且log1=0。它是x的增函数,导数
。此外logx满足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。 
初等函数
初等函数
。ex在x=0处的泰勒展式为 
。 (4)
所围面积记为θ/2，点M的坐标视为θ的函数,并记为coshθ和sinhθ，即有表示式(5)。 
初等函数
初等函数
初等函数
初等函数有理函数、幂函数和根式函数 两个复系数的多项式之比为有理函数,它实现扩充的复平面
到自身的解析映射。分式线性函数 
是一个特殊的有理函数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w＝zn，n 是自然数,它在全平面是解析的,且
。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周丨z丨= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw＝nθ。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n,它就是w＝zn的单叶性区域。幂函数 w＝zn的反函数为根式函数
,它有n 个值,
(k=0，1,…,n-1),称为它的分支。它们在任何区域θ1
。它们的导数为
。 指数函数和对数函数 在指数函数式(4)中将x换为复变量z,便得到复变量的指数函数w＝ez,并且
,显然有 
(k为整数)。
；ez以2kπi为周期，即
；并且它的导数与本身相同，即 
。函数w＝ez在全平面实现共形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez的单叶性区域。例如 
,
,把直线y=y0变为射线argw＝y0，因而把区域Sk变为区域 0
2kπ)（k 为整数），称为它的分支。每一个分支在区域θ0
。对数函数把这个区域单叶地变为带形区域θ0
。
。一般来说,它是多值函数。特别当α=n 是正整数时,它就是幂函数w＝zn；当 
，n为正整数，它就是根式函数 
。 三角函数、反三角函数、双曲函数 这些函数是作为相应的实变量函数的解析开拓而得。例如将(2)和(3)式中变量x换为复变量 z，则得到sinz和 cosz，它们是整函数。tan z=sinz/cosz, cotz=cosz/sinz 等是z的亚纯函数。它们能表示为
, 
,
。
，
，
。
,-1】和【1,)后得到的区域。类似地可以指出cosz的单叶性区域。 w＝Arcsinz,w＝Arccosz,w＝Arctanz分别是 sinz,cosz和tanz的反函数，并称为反三角函数。它们能由对数函数合成，即可表为
，
，
,
,
,
等为双曲函数。由定义它们与三角函数有下面的关系： 
。
。此外 
。
，
。
