分子轨道理论

 

　　一种化学键理论，是原子轨道理论对分子的自然推广。其基本观点是:物理上存在单个电子的自身行为,只受分子中的原子核和其他电子平均场的作用，以及泡利不相容原理的制约；数学上则企图将难解的多电子运动方程简化为单电子方程处理。因此，分子轨道理论是一种以单电子近似为基础的化学键理论。描写单电子行为的波函数称轨道（或轨函），所对应的单电子能量称能级。对于任何分子，如果求得了它的系列分子轨道和能级，就可以像讨论原子结构那样讨论分子结构，并联系到分子性质的系统解释。有时，即便根据用粗糙的计算方案所得到的部分近似分子轨道和能级，也能分析出很有用处的定性结果。

 

　　氢分子离子的分子轨道  正如在原子轨道理论中，氢原子的严格解提供了进一步发展的理论模式，氢分子离子H娚中,单个电子在固定核间距R的双质子场中的波动方程解，是分子轨道理论进程中的基石。H娚的分子轨道用符号σ、π、、…表征,对应于精确解中的量子数m＝0,±1,±2,…,它描述相对于核间距R的轨道对称行为。此外，还需用g和u表征相对于分子中心反演的对称行为。综合起来,H娚的分子轨道用σ_g、σ_u、π_g、π_u、…等符号表征，借助精确求解固定核间距R的波动方程获得。图1给出两个最低轨道1σ_g和1σ_u的能量E随R的变化曲线。1σ_g能级有一极小值－1.20Ry(里德伯能量),出现在R＝2a₀处(a₀为玻尔半径,图2）,代表基态；当R增大以至无穷时, 1σ_g能量趋近-1.0Ry。两者差值0.20Ry就是H娚的离解能。1σ_u的行为不同, 能量随R减小而单调上升,显示排斥态的本质。1σ_g和1σ_u也被称作成键轨道和反键轨道。1σ_g均取正值，1σ_u则在中心两端发生符号变化,但极值均出现在质子所在处，且伴随R变小；1σ_g在核间区数值增大，描写了电子在分子中的转移。随着R的增大,1σ_g和1σ_u的函数值渐近于式(1)～(2)：

(1)
(2)

式中N_g和N_u是归一化系数;和分别是两个组成氢原子上的 1s原子轨道。图3 给出R＝2a₀时，1σ_g和1σ_u轨道的精确值和按式(1)与(2)的近似值的比较,说明式(1)与(2)的近似程度是很好的。式(1)和(2)表示，分子轨道可以近似地当作原子轨道的线性组合,简写为LCAO（见量子化学计算方法）。当R很大时，结果是准确的，即使R达到分子核间距大小时,也给出不错的结果。这一点启发了对复杂分子也可采用LCAO方法去寻找近似分子轨道。这是因为在分子中，靠近一个核的电子主要受到该核的势场的作用；而受到其余核的联合作用，则小得多，因此在近核处，分子轨道必定近似于该核的原子轨道。对于整个空间的任何一点，可以设想分子轨道由有关的原子轨道线性组合而成。一般的形式是：

　　 (3)

式中ψ 代表分子轨道或轨函；φ_v是属于各组成原子的原子轨道；c_v是待定系数,由变分法确定。还应指出,LCAO是一种可行的近似方式，但不是唯一的近似方式。
　　任意双原子分子的分子轨道 　用原子轨道线性组合法LCAO近似来讨论任意双原子分子中，分属两个原子的一对原子轨道形成分子轨道的最优条件。这时,式(3)采取以下简单形式：

ψ＝c₁φ_a＋c₂φ_b (4)

代入波动方程Hψ＝Eψ，得到近似能级E：

　　 (5)

式中H_aa和H_bb分别是原子轨道φ_a和φ_b的库仑积分，可看作φ_a和φ_b的能量,即H_aa＝E_a，H_bb＝E_b；H_ab＝β称共振积分,与φ_a和φ_b的重叠情况有关,一般取负值,S_ab称重叠积分，可当作零处理,而不影响定性结论。最优条件由E取极值确定，即：

　　 (6)

上式给出一组c₁、c₂的齐次方程组，由系数组成的久期方程（见休克尔分子轨道法）得到：

　　 (7)

设E_a＜E_b，则式(7)的含意可用图4 表示。

　　由此看出，有效的成键作用决定于B值的大小,后者又与原子轨道能量差|E_a-E_b|以及重叠情况β有关,从而可归纳为三个条件：
　　① 能量近似条件:指|E_a-E_b|越小越好,当|E_a-E_b|＝0时，B最大，等于|β|。
　　② 最大重叠条件：φ_a与φ_b的重叠越大(图5
),β的绝对值也可能越大。

　　③ 对称性条件：有时φ_a与φ_b虽然重叠,但B＝0,例如当核间距R_ab选作z轴（表1），φ_a＝s，φ_b＝p_y，这是因为s轨道相对xz平面为对称的，而p_y为反对称的。

　　将式(7)用于同核双原子分子，φ_a和φ_b可以是分属两原子的同一原子轨道，这时有：

　　 (8)

ψ_I对分子中心为对称,属于g；ψ_Ⅱ为反对称,属于u。其次，若φ_a＝φ_b＝s(或＝p_z),ψ_I和ψ_Ⅱ均对核间距(z轴)为轴对称，属于m＝0的σ态；但对φ_a＝φ_b＝p_y(或p_x)，则存在通过R的节面，属于m＝±1的π态,细节列于表2中。

　　分子轨道的能量 　决定于组成原子轨道的类型和原子轨道间的重叠，例如σ_g1s和σ_u1s比σ_g2s低得多,这是由于原子轨道1s的能量比2s的低得多。同理，因为除氢原子外，2s能量显著低于2p的能量，故σ_g2s比σ_g2p能量低。另外,只要核间距不很小，两个2s轨道或两个2p_z轨道之间的重叠比两个2p_y或2p_x之间的重叠大得多，因此成键和反键π轨道间的能量差比对应的σ轨道的差小。根据这种论述,表2中所列分子轨道次序可预料为：

σ_g1s＜σ_u1s＜σ_g2s＜σ_u2s＜σ_g2p

　　　　　＜π_u2p＜π_g2p＜σ_u2p (9)
上式是一种最粗糙的轨道近似，更好的近似是包含更多的原子轨道，这些原子轨道符合有效成键作用的三条件。例如，代替单纯的2s以及2p_z的LCAO所形成的σ型分子轨道应为：

　　 (10)

c₁、c₂、c₃、c₄确定后的四个σ轨道比原来的σ_g2s、σ_u2s、σ_g2p和σ_u2p更接近实际，其中σ_g2s、σ_u2s将降低,σ_g2p及σ_u2p则升高。加上当核间距变小时，π_u2p要降低,导致式(9)中，σ_g2p与π_u2p次序的可能颠倒：

π_u2p＜σ_g2p (11)

N₂分子就属于这一类型。
　　有了式(9)与(10)的能级次序,就可按能量最低原理和泡利原理来预言同核双原子分子的基态（表3）。

　　表中的符号Σ、Π、… 意义与σ、π、… 相同，具有沿核间距方向角动量的含义,标志完整分子的态,由各个单电子轨道确定；右上角的＋、－号指对平分两核的镜面反映为对称或反对称而言。
　　多原子分子的分子轨道  以上基于单电子波动方程近似解的轨道概念和方法，可自然地向复杂的多原子分子推广。对双原子分子，存在沿核间距方向的角动量量子数 m＝0,±1,…等来表征轨道或态；但对多原子分子，找不到象H娚那样简单而典型的分子，不能精确求解，给问题的讨论造成了麻烦。但由于弄清了量子数所表征的分子轨道对称性本质来源于分子自身的对称性，因而对称性分析（群论）会给出任何分子电子状态的重要信息，而无需知道分子轨道的具体函数。这方面的进展是巨大的，例如群论在化学中的应用，能级相关图、分子轨道对称守恒原理等的评述。此外，建立在单电子能级和轨道近似基础上的理论计算方法已发展起来，如自由电子分子轨道法、休克尔分子轨道法及推广的休克尔分子轨道法等。
　　如前所述，分子轨道和能级是单电子波动方程的本征解，即满足：

Hψ_i＝εψ_i (12)

式中H是单电子哈密顿算符,其中的位能描写一个电子在固定分子骨架及其余电子的平均作用。因而,H与其余电子的运动状态,即轨道有关。前面的讨论丝毫未触及H的具体形式，也未对分子轨道作过严格定义，所得结论是定性地适用的。为适应理论的定量化发展，已经推导出著名的哈特里-福克方程（见自洽场分子轨道法）,对于闭壳层电子体系，式(12)中的H采取福克算符的形式：

　　　　(13)

式中h是纯核场中单个电子的哈密顿算符，2J_j-K_j＝J_i和2J_j(j≠i)代表其余电子的平均静电势，K_j(j≠i)称交换势能，它来源于泡利不相容原理导致自旋相同电子间的相关作用。J_j和K_j的表示式均明显地与分子轨道有关，例如：

　　 (14)

式中(1)代表所考虑的单电子的坐标;(2)为另一电子,其分子轨道为ψ_j(2)；r₁₂代表两电子间距离。因此,式(12)的求解需事先设想一组ψ_j，按式(13) 求出H，然后得到一组新的ψ_j，重复这种步骤，直到最后一次循环中, 试探的ψ_j与解出的ψ_j接近和相同为止，称为自洽。
　　采用LCAO方法，分子轨道ψ_k 按式(3)表示成原子轨道φ_l(l＝1,2,…,n)的线性组合：

　　 (15)

代入(12)式,左右两端乘以φ奰并积分，得到一组c_kl的方程组：

　　 (16)

式中；。求解归结为久期方程的本征值 E_k和本征向量的自洽计算：

　　

　　哈特里－福克方程虽然较仔细地考虑了电子间的排斥作用，但由于平均势场模型仍然使一部分固有的“相关作用”未予考虑，因而理论计算结果仍未达到定量符合实验值的精度。改进的途径是考虑组态相互作用，已经出现了多种组态相互作用分子轨道从头计算程序，用于量子化学研究。
　　参考书目
　R.Dandel, G.Leroy, D.Peters and M.Sana,QuantumChemistry,John Wiley & Sons, New York, 1983.

 

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