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• 1 几何度量
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　　在D.希尔伯特建立的欧几里得几何的公理体系（见欧几里得几何学)的基础上,线段度量的理论安排在连续公理之后，是以结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理等四组公理为理论基础而进行论述的。关于线段的长度是这样定义的：
　　对应于线段AB，且具有下列性质的正数，叫做线段AB 的长度，记作ρ(AB)。
　　① 与相等的线段对应的是相等的正数,即如果线段

AB=A′B′，

那么

ρ(AB)=ρ(A′B′)。

　　② 如果B是线段AC上一点，对应于线段AB和BC的正数的和必等于对应于AC 的正数。即

ρ(AB)+ρ(BC)=ρ(AC)。

　　由此定义出发可以证明，作为线段长度的正数是存在的；当选定了单位长度,也就是选定了对应于正数1的线段后，作为每一线段长度的正数是惟一的。
　　而且还明确了, 如果在射线Ox上顺次截取线段OP₁=P₁P₂＝P₂P₃＝…＝P_n-1P_n＝…,且ρ(OP₁) = 1时，ρ(OP₂)、ρ(OP₃)、…、ρ(OP_n) 、… 必须且仅须顺次为2、3、…、n、…（图1）。
　　以连续公理中的阿基米德公理为主要论据，可以证明,选定了ρ(OP₁)=1之后,对应于射线上任意线段OP，必有且仅有一个正实数k存在，使得ρ(OP)=k。
　　以连续公理中的康托尔公理为主要论据，可以证明，选定了ρ(OP₁)=1之后，对应于给定的正实数k,射线Ox上必有且仅有一点P存在，使得ρ(OP)=k。
　　关于角的度量问题的论述，均仿此。
　　关于简单多边形的面积的定义是：
　　对应于一个简单多边形,且具有下列性质的正数,叫做这个多边形的面积。
　　① 与合同的多边形对应的是相等的正数。
　　② 两多边形之和的面积等于两多边形面积的和。
　　如果以长度单位为一边的正方形为面积单位，那么边长为有理数的矩形的面积就是它能分割成面积单位的个数，因而等于两边长度之积。对边长为无理数的矩形的面积，可在此基础上用极限来解决，其理论如下：
　　设矩形ABCD的边长AB、BC 都是无理数,以长度单位度量BA和BC,分别量至BA₁、BA₂(BA₁<BA<BA₂)；BC₁、BC₂(BC₁<BC<BC₂)（图2）。
　　分别以BA₁和BC₁、BA₂和BC₂为边完成矩形A₁BC₁D₁和A₂BC₂D₂，设矩形A₁BC₁D₁和A₂BC₂D₂分别分割为m和m＋n个面积单位（设为u）。那么

mu<ABCD<(m+n)u。

如果以长度单位（不失一般性设为 ）为一边完成正方形 u′,则。而以该单位长度的度量BA和BC，分别量至BA姈和BA娦,即BA姈<BA<BA娦；BC姈和BC娦,即BC姈<BC<BC娦 (图中没画出)；且以BA姈和BC姈、BA娦和BC娦完成矩形 A姈BC姈D姈和A娦BC娦D娦，并设两矩形分别分割为m₁和m₁+n₁个u′，即和那么 <
　　仿此，依原长度单位的顺次进行，连同所得两不等式，便得到：

m·u<ABCD<(m+n)·u，

　　 …………。

　　显然，为一无穷递增数列；而为一无穷递缩数列。它们相当项之差为：此数列的极限为0。因而前两数列有相同的极限。这样，就以此极限定义为矩形的面积。依此可证矩形的面积等于其两邻边长度之积。
　　关于圆周长度与圆面积，在初等几何中是这样来定义的:由于一个圆的内接正n边形和外切正n边形,当边数无限倍增时，一系列的内接正多边形的周的长度构成一无穷递增数列，一系列的外切正多边形的周的长度构成一无穷递缩数列，这两数列有相同的极限。这样，就以此极限定义为圆周长度。
　　同样，两系列的多边形的面积也分别构成一无穷递增数列和一无穷递缩数列。这两数列也有相同极限。这样，就以此极限定义为圆的面积。
　　根据上述定义，可证明圆周长度C=2πr；圆面积S =πr²，式中r为圆的半径；π为圆周率。
　　关于简单多面体体积的论述，均仿简单多边形面积的论述。
　　关于球的表面积和体积的论述，均仿圆周长度和面积的论述。

 

 

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