光的衍射

　　光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。总之，衍射效应使得障碍物后空间的光强分布既区别于几何光学给出的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射光强有了一种重新分布。衍射使得一切几何影界失去了明锐的边缘。意大利物理学家和天文学家F.M.格里马尔迪在17世纪首先精确地描述了光的衍射现象，150年以后，法国物理学家A.-J.菲涅耳于19世纪最早阐明了这一现象。
　　光的衍射现象的观察和特点 　衍射是一切波所共有的传播行为。日常生活中声波的衍射、水波的衍射、广播段无线电波的衍射是随时随地发生的，易为人觉察。但是，光的衍射现象却不易为人们所觉察，这是因为可见光的波长很短，以及普通光源是非相干的面光源。当用一束强光照明小孔、圆屏、狭缝、细丝、刀口、直边等障碍物时，在足够远的屏幕上会出现一幅幅不同的衍射图样。在实验室中,过去用碳弧灯这类强点光源,而目前广泛采用氦氖激光器作光源来显示衍射现象，收到了良好的效果（图1）。衍射现象具有两个鲜明的特点：①光束在衍射屏上的某一方位受到限制，则远处屏幕上的衍射强度就沿该方向扩展开来。②若光孔线度越小,光束受限制得越厉害,则衍射范围越加弥漫。理论上表明光孔横向线度 ρ与衍射发散角Δθ之间存在反比关系
　　 ρΔθ≈λ。
当光孔线度远远大于光波长λ时，衍射效应很不明显,近似于直线传播。当光孔线度逐渐变小，衍射效应逐渐明 显，在远处便出现亮暗分布的衍射图样。当光孔线度小到可以同光波长相比拟时，衍射效应极为明显，衍射范围弥漫整个视场，过渡为散射情形。

 

　　惠更斯－菲涅耳原理 　是处理光的衍射的近似理论，惠更斯－菲涅耳原理可以表述为：波阵面 ∑上的每个面元d∑，可看成为一个新的振源（次波源），它们发出次波;波场中任意处P点的扰动是所有次波到达该点的次级扰动的相干叠加（图2）。
　　如用复振幅（包括振幅和位相）描述波场，若一个次波到达场点的次级扰动为d堚(P)， 则场点的总扰动为

式中次级扰动的振幅和位相由以下诸因素决定：
──次波源的微分面积，
　　 ──次波源本身的复振幅，
　　 ──次波源发射球面波，
　　 ──倾斜因子，说明次波面源的发射具有一定的方向性。
　　写成等式是：
　　
　　60余年后，G.R.基尔霍夫从定态波场的亥姆霍兹方程出发,利用矢量场论中的格林公式,在kr1近似条件下，导出了无源空间边值定解的积分形式为

式中各量的意义参见图3,并指明凡是隔离实际点光源与场点的任意闭合面∑都可以作为积分面（波阵面），它不一定是等相面。上式称为菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式,它与由朴素的物理思想所构造的衍射积分相比较，两者的主体部分是相同的，只是前者明确地给出了倾斜因子和比例系数的具体形式。

 

　　显然,惠更斯-菲涅耳原理的提出不是为了解决光的自由传播问题，而是为了求解光通过衍射屏以后的衍射场。为此,取波阵面为包括光孔面∑_o、光屏面∑₁和无穷远处的半球面∑₂等三部分构成的闭合面。基尔霍夫进一步提出（图4）：∑₀面上的光场堚₀(Q)取自由波场,∑₁面上的光场取0，无穷远面上的光场对场点的贡献为0,这称为基尔霍夫边界条件的假设。于是菲涅耳－基尔霍夫衍射公式中的积分区域就限于光孔面。基尔霍夫边界条件的假设看来是比较自然的，但它并不严格成立。光是电磁波,严格的衍射理论应是高频电磁场的矢量波理论。光屏是实物组成的,应考虑光与屏物质(导体或电介质)的相互作用，结果就扰动了光孔面上的原有光场，而且也不会使得光屏面上的光场断然为0。但是理论表明,严格的边界条件与基尔霍夫边界条件给出的场分布的显著差异，仅局限于光屏或光孔边缘邻近区域波长量级的范围内。对于光波,由于其波长往往比光孔的线度小很多，故采用基尔霍夫边界条件所产生的误差不大。但是,对于无线电波的衍射就需要用较严格的电磁理论。于是,菲涅耳-基尔霍夫衍射积分式中的积分面只遍及光场不等于零的光孔面∑₀。在光孔和接收范围满足旁轴条件下，倾斜因子，衍射积分简化为

式中r₀是衍射屏中心到场点的距离，上式是计算衍射场的一个实用公式。
　　衍射系统和衍射屏函数 　从衍射积分（傍轴）式中可以看出，对各种衍射屏来说积分核是相同的, 衍射场的不同分布是由瞳函数堚₀(Q)或光场不等于零的光孔面 ∑₀的形状和大小等两方面的差别而引起的。可能导致光波衍射的障碍物（屏）的品种是多种多样的，凡是使波阵面上的复振幅分布发生改变的物，统称为衍射屏。衍射屏可以是反射物或透射物，诸如圆孔、矩孔、单缝等一类中间开孔型的，有小球、细丝、墨点、颗粒等一类中间阻挡型的，有反射闪耀光栅、透射黑白光栅、菲涅耳波带片、正弦型光栅等周期型的，也可以是景物的一幅底片、一张图像、一页数码字符等复杂型的，还可能是透镜棱镜等一类位相型的衍射屏。
　　以衍射屏为界，整个衍射系统分成前后两部分（图5）。前场为照明空间,充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波。照明光波的波型一般比较简单，常用球面波或平面波，这两种典型波的等相面与等幅面是重合的,属于均匀波,其波场中没有因光强起伏而出现的亮暗图样。衍射波比较复杂，它不是单纯的一束球面波或平面波，其等相面与等幅面一般不重合,属于非均匀波,其波场中常有光强起伏形成的衍射图样。在衍射系统分析中注重三个场分布。一是衍射屏左侧的入射场堚₁(x,y),它是入射光波阵面函数;二是衍射屏右侧的透射场堚₂(x,y),当然也可以是反射场,它是衍射场波阵面函数；三是衍射波向前传播而到达接收屏幕上的光场函数 堚(x′,y′)。将堚₁场变换为堚₂场的是衍射屏的作用，由 堚₂场导出堚场是衍射问题的基本提法，也是光的传播问题的基本提法,其理论根据就是惠更斯-菲涅耳原理。由此可见,本质上说,光波衍射就是波阵面变换。

　　表征衍射屏特征的是其屏函数。屏函数定义为

对透射屏,慙也称为复振幅透过率函数。对反射屏,慙也称为复振幅反射率函数。屏函数通常为复函数（相幅型）。若屏函数中仅有幅角是(x,y)的函数,就称其为位相型衍射屏；若屏函数中仅有模是(x,y)的函数,就称其为振幅型衍射屏。
　　衍射分类 　在无成像的衍射系统中，通常按光源、衍射屏、接收屏幕三者之间距离的远近而将衍射分为两类（图6），一类是菲涅耳衍射,指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为有限远，或其中之一是有限远的情形;另一类是夫琅和费衍射,指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形。粗略地说，菲涅耳衍射是近场衍射，夫琅和费衍射是远场衍射。不过应当注意,在成像衍射系统中,像面的衍射场在一定条件下也是夫琅和费衍射场，此时无论像面（接收屏位置）或光源位置，它们与衍射屏的距离都可以是很近的。当然，夫琅和费衍射是菲涅耳衍射的一个特例，其衍射积分计算较为简单，实验上也不难实现，应用价值又很大，故它一直是衍射问题的研究重点。尤其是现代光学中傅里叶光学的兴起，赋予夫琅和费衍射以新的重要意义。

　　衍射应用 　光的衍射决定光学仪器的分辨本领。气体或液体中的大量悬浮粒子对光的散射，衍射也起重要的作用。在现代光学乃至现代物理学和科学技术中，光的衍射得到了越来越广泛的应用。衍射应用大致可以概括为以下四个方面：
　　① 衍射用于光谱分析。如衍射光栅光谱仪。
　　② 衍射用于结构分析。衍射图样对精细结构有一种相当敏感的“放大”作用,故而利用图样分析结构,如X射线结构学。
　　③ 衍射成像。在相干光成像系统中,引进两次衍射成像概念，由此发展成为空间滤波技术和光学信息处理。光瞳衍射导出成像仪器的分辨本领。
　　④ 衍射再现波阵面。这是全息术原理中的重要一步。