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• 1 傅里叶积分算子
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　　偏微分算子理论中的重要工具。它和拟微分算子一起，被称为“70年代技术”。拟微分算子的前身是具强奇性的卷积型奇异积分算子。
　　奇异积分算子 　在n维欧氏空间Rⁿ中,设点x=(x₁,x₂，…,x_n)的函数

，

式中:①Ω(x)是零次齐次的;②;③Ω(x)在单位球面S^n-1上的积分平均值是零，即

于是以k(x)为核的奇异积分算子K就是

，　　　(1)

这里。
　　经典的例子是所谓里斯变换

式中C_n是某一仅依赖于维数n的常数。特别当n=1时,即为希尔伯特变换。当1<p<∞时，后者乃l^p→l^p的有界算子，这是颇为深刻的一个经典结果。1952年A.P.考尔德伦和A.赞格蒙在将条件②大加削弱的情况下，成功地证明了一般(1)形算子K的l^p有界性(1<p<∞)。此后他们还发展了F.G.特里科米(1926～1928)、G.吉劳德(1934～1936)、S.G.米歇利姆(1936～1948)诸人的前驱性工作，创立高维奇异积分算子的所谓米歇利姆-考尔德伦-赞格蒙理论，且应用于偏微分方程理论。
　　在这一理论及其应用中,作为(1)形之推广的算子类

其算子代数（作乘积与取共轭）的符号演算法则，有突出的意义。(2)中系数 α(x)及其任意阶微商均有界；核关于z是一n次齐次的，且在｜z｜=1上的平均值为零;对任意α及β∈Z而言，当｜z｜=1时，总是有界的。在这些条件下,可以证明,任意(2)形算子K是l^p→l^p的有界算子,经适当扩张后,也是索伯列夫空间h^s→h^s的有界算子（这里1<p<∞，s为任意实数）。
　　对任意由非负整数组成的n 重指标 ，总是令

，

，

。

　　对(2)类算子作符号演算的依托是关于该算子的象征（或称作符号）的概念:对核k(x,z)取关于z的部分傅里叶变换

，

并定义算子K的象征为

。　　　(3)

用它根据傅里叶变换理论，可将算子K表为

。　　　(4)

这至少在ƒ∈S(Rⁿ)（无穷次可微，且各阶微商都剧减的施瓦尔茨函数类）时是正确的。由此，可以通过一些极限程序或对偶程序而扩张此式于ƒ∈l^p(1<p <∞)，以至于ƒ∈h^s)（对一切s∈R）等等。
　　可以证明，一个函数σ(x,ξ)是某算子K按(3)式定义的象征,当且仅当σ(xξ)关于ξ是零次齐次的,σ(xξ∈C^∞(ξ≠0)并且对任意α、β∈Z,总存在常数C_α,_β使

。　　　(5)

当σ(xξ)满足以上条件时，令α(x)为σ(xξ)在｜ξ｜=1上的平均值,并取k(xξ)为σ(xξ)-α(x)关于ξ的部分逆傅里叶变换，于是就得到以σ(xξ)为象征的算子K。
　　由上述可知，象征类关于逐点乘法和取复共轭的运算(关于加法和数乘法更不用说)是封闭的。以两个(2)形奇异积分算子K₁和K₂之象征的乘积为其象征的奇异积分算子称为K₁和K₂的准乘积,记作K₁。K₂;以一个(2)形奇异积分算子K之象征的复共轭 为象征的奇异积分算子称为K的准共轭, 记作K^#。于是关于奇异积分算子的符号演算法则可以概述为:对每一个β∈R而言,差K₁K₂-K₁。K₂与差K^*-K^#,都是h^s→h^s+1的有界算子。这里，对每个 β∈R而言，由于算子K（经扩张后）都是K ^_s→h ^_s的有界算子,而h^s又可自然地视作h^_s的（复共轭线性）对偶, 故K 有作为h^s→h^s的有界算子之通常意义下的共轭算子，将它记作K^*。
　　应当指出,如将象征取成一仅是ξ的函数σ(ξ)时，(4)式可写成，即ƒ→Kƒ是一傅里叶乘子变换（这里对所涉及的任何g,抭总表示g的傅里叶变换）。与此在本质上相似的变换早已见于傅里叶级数理论中，特别，J.马钦凯维奇1939年研究过多重傅里叶级数的乘子变换的l^p有界性(1<p<∞)，后来，S.G.米歇利姆对多重傅里叶积分作了相应的工作。由于有此种种历史缘由，以及事情的本质，人们总把一般高维奇异积分算子看作是具变系数的傅里叶乘子。
　　拟微分算子 　50年代末，60年代初，奇异积分算子的米歇利姆-考尔德伦-赞格蒙理论在偏微分方程的研究中颇为充分的显示出它的功用。比如，A.P.考尔德伦用它导出关于线性偏微分方程的柯西问题惟一性定理，M.F.阿蒂亚与I.M.辛格又借以建立了影响很大的椭圆算子的指标理论。从而推动了一些数学家致力于创立一种除奇异积分算子之外，还包括一般变系数线性偏微分算子及其逆（当其存在时）在内的算子代数，使得有更精密而同时也很灵活的符号演算法则。于是定名为拟微分算子的理论应运而生，其奠基性的代表著作是1965年发表的J.J.科恩和L.尼伦伯格的《拟微分算子代数》以及L.赫尔曼德尔的《拟微分算子》。
　　考虑一个线性偏微分算子。为简单计,设α_α(x)连同其各阶微商在Rⁿ上都有界。按傅里叶反演公式

，　　　(6)

式中，这至少于 u∈S(Rⁿ)时正确。与公式(4)对照,启示人们在P(xξ)既不是ξ的多项式,也不是ξ的零次正齐次函数的情形，照样用公式(6)定义算子P(x,D),并称之为以 P(xξ)为象征的拟微分算子。当限制象征P(xξ)于适当的函数类中时，则所得出的拟微分算子类构成极便于操作（其中包括取共轭）的算子代数。比如说,可以使用象征类:（m取遍所有实数）;这里称P(xξ∈BS^m,当且仅当并对任意α、&BETA;∈Z总存在常数C_α,_β使

。　　　(7)

象征在BS^m中的拟微分算子，称为是m阶的。(3)形奇异积分算子,如(3)、(4)、(5)所表明，基本上是零阶的拟微分算子。(5)与m=0时的(7)之差别是技术性的。
　　任何m 阶的拟微分算子,经扩张后,对任意实数s 而言，都是h^s→h^s-m的有界算子。
　　如,则乘积算子A(x,D)B(x,D)也是一拟微分算子C(x,D),其属于的象征C(xξ)由如下的莱布尼茨规则渐近地确定：

　　　(8)

(modulo BS^-∞屌∩BS^m)(m取遍所有实数)。实际上,(8)意味着:如对任一正整数N,令·则A(x,D)B(x,D)-C_N(x,D)是阶为m₁+m₂-N 的一拟微分算子,从而是的有界算子(N 愈大愈光滑）又若A∈BS^m,则共轭算子A(x,D)^*也是个阶为m 的拟微分算子,其象征是

。

由(8)特别可知：
　　A(x,D)B(x,D)=AB(x,D)modulo阶更低的项，
　　［A(x,D),B(x,D)］
　　　　=-i｛A,B｝(x,D)modulo低阶项。此处［A(x,D),B(x,D)］表示括号中两算子的交换子,而

　　　(9)

就是经典力学中的所谓泊松括号。
　　此外,拟微分算子如同微分算子一样,经变数变换后仍是这种算子,即,如τ:x→y=τ(x)是Rⁿ之一微分自同胚（设τ(x)的各阶微商均有界且雅可比行列式 detτ┡(x)的绝对值有正下界），则对任意也是个m阶似微分算子,记作τA(y,D_x)，其象征

正是拟微分算子的这种属性及复合法则，使得人们能在任一 C^∞ 微分流形M 上加以定义，此时象征乃是余切丛T*M 上的对象。
　　关于拟微分算子理论的各种应用，在L.尼伦伯格的《线性偏微分方程讲义》、F.特里韦斯的《拟微分算子和傅里叶积分算子导引》以及J.查扎雷恩与A.皮里奥合写的《线性偏微分方程论导引》中有详细的叙述。
　　必须指出，拟微分算子的运算性质，容许人们将有关偏微分算子的许多问题微局部化之后处理，比如，通过某种单位分解(φυ具适当支集)，而将一偏微分算子P(x,D)分解成低阶项，等等。这与下面要讲的傅里叶积分算子理论配合，就形成了偏微分算子论中最强有力的所谓“70年代技术”。它的最新表述和发展在C.L.费弗曼的《不定性原理》之中有精彩解说。
　　傅里叶积分算子 　纯形式地而言，定义典型的局部傅里叶积分算子，只不过将(6)中的位相函数x·ξ换成比较更一般的函数S(xξ)，即它们的形状如

　　　(10)

式中位相S(x,η)假定是中实值函数，并对ξ是一次正齐次的，而振幅α（x，η）属于某个象征类(在拟微分算子理论中出现那些),在｜η｜充分小时恒等于零；此外,重要的设在振幅α的支集的某锥状邻域（关于η用任何正实数乘后不变）中,S(x,η)是一个典型变换ψ:(y,η)→(xξ)=ψ(xξ)的生成函数，即ψ由方程

确定。此处说到的典则变换，就是使泊松括号（其定义形式为(9)）为不变的变换。
　　傅里叶积分算子产生于用几何光学方法求经典波动过程的渐近表达式及求量子力学问题在大范围内适用的准经典近似。P.D.拉克斯1957年关于前一方面的工作，Β.∏.马斯洛夫1965年关于后一方面的工作，导致赫尔曼德尔于1968～1970年期间系统地建立了傅里叶积分算子的局部以及整体理论。
　　典则变换，及与之相关的一整套辛几何是傅里叶积分算子理论及其应用的基石，这早已在Β.∏.马斯洛夫的工作中表现得相当清楚。后来,ю.Β.叶戈罗夫又有一重要发现（1969）：当A为形如(10)的一个算子,而P和Q是使相似关系PA＝AQ成立的拟微分算子，则P 和Q的象征(modolu低阶项)由位相S(x,η)生成的典型变换联系。这意味着象寻常作自变量变换以简化微分算子似地，有可能用典则变换先简化其象征，然后用相应的傅里叶积分算子作相似变换以简化一个拟微分算子。其实，这只是在微局部意义上方能作到的事情，此种曲折实现方法即所谓的“70年代技术”。

 

 

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