傅里叶变换

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傅里叶变换傅里叶变换

傅里叶变换正文

一种积分变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。积分

傅里叶变换　　　(1)

称为ƒ 的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在(－∞,∞)上定义的非周期函数ƒ，显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶建议把ƒ表示成所谓傅里叶积分的方法。　　设ƒ(x)是(-l,l)上定义的可积函数，那么在一定条件下，ƒ(x)可以用如下的傅里叶级数来表示：

傅里叶变换

(x∈(-Л, Л)), 　　　(2)

式中

傅里叶变换。 (3)

把(3)代入(2)，即有

傅里叶变换

式中u_n＝nπ/l (n=1,2,…)；傅里叶变换

。当l→∞时，上式第一项趋于0，级数换成积分，因此形式上就成为

傅里叶变换。 (4)

这就是傅里叶积分的直观推导。记号～表示右方的积分是从 ƒ得来的，它并不意味着右方积分收敛，即使收敛，也未必等于ƒ(x)。
　　傅里叶积分的收敛判别法 　类似于傅里叶级数，相应的收敛判别法也有多种。为了简单起见,假定ƒ是连续的。　　① 迪尼判别法　假如对于某个h>0，积分

傅里叶变换，

那么ƒ的傅里叶积分(1)在点x收敛于ƒ(x)。
　　② 狄利克雷-若尔当判别法如果函数ƒ在含有点x的某区间,例如(x-h,x+h)上分段单调,则ƒ 的傅里叶积分在点x收敛于ƒ(x)。　
　傅里叶积分的复数形式 傅里叶积分(1)中的内层积分傅里叶变换

是u的偶函数，所以(4)式可以形式地写成

傅里叶变换。 (5)

另一方面，积分

是u的奇函数,所以形式上，积分　

傅里叶变换， (6)

合并(5)与(6)，利用公式e^iθ =cosθ＋isinθ，即得

傅里叶变换　 (7)

最后的积分称为ƒ的傅里叶积分的复数形式。　
　傅里叶变换与傅里叶逆变换 　(7)中内层积分

傅里叶变换，　　　 (8)

称为ƒ的傅里叶变换,记为弮(u)。在一些书中，积分前面的因子

用

代替，相应地,下面的逆变换积分前面应添加因子

。以上都假定了函数ƒ∈l¹(-∞,∞)，所以(8)中的积分是存在的。进一步可以证明，ƒ的傅里叶变换弮(u)是u的连续函数;当u→±∞时,弮(u)→0；此外，若弮(u∈l¹(-∞,∞)，则几乎处处成立下面的逆转关系：

傅里叶变换。　　　　(9)

上式称为弮(u)的傅里叶逆变换。例如

的傅里叶变换弮(u)等于

;而弮(u)的傅里叶逆变换是

。
　　L²（－∞,∞）中函数的傅里叶变换　对于ƒ(x∈l²(-∞,∞)，(8)中积分未必收敛，由(8)定义的傅里叶变换可能不存在。因此,对由(8)定义的傅里叶变换需要从另一种意义上去理解。可以证明，函数　

傅里叶变换，

当l→＋∞时在空间l²(-∞,∞)内按范数收敛于某函数F(x∈l²(-∞,∞)，即

傅里叶变换。　(10)

这样所得的F(x),称为ƒ的傅里叶变换,也记作F(x)=弮(x)。此外，还可以证明，以下的关系成立：

傅里叶变换。 (11),

上述结果，即为普朗歇尔定理，(11)式相应于傅里叶级数论中的帕舍伐尔等式。
　　佩利-维纳定理 　假如ƒ∈l²(-∞,∞),并且ƒ(x)=0　(｜x｜>σ)，那么ƒ的傅里叶变换为

傅里叶变换。

　把上式积分中的x换成复变数z(z=x+iy),即得复平面上定义的函数F(z)：

傅里叶变换。　　　(12)

可以证明F（z）是复平面上的解析函数。此外,由于ƒ∈l²(-σ,σ)，可得估计

傅里叶变换

　这就是说,(12)定义的F(z)是一个指数σ型的整函数。下面的佩利-维纳定理则说明逆命题也成立：　　设σ>0,F(x∈l²(-∞,∞),那么F(x)为l²(-∞,∞)中以(－σ，σ)为支集的某函数ƒ(t)的傅里叶变换的充分且必要的条件是，F(x)为指数σ型整函数F(x+iy)在x轴上的限制。　
　多元傅里叶变换 　设

为m维欧几里得空间R^m上的l可积函数,即ƒ∈l(R^m),那么称函数

傅里叶变换

为ƒ的傅里叶变换,记作弮(x)。假如ƒ(x∈l²(R^m),那么同样可以证明，“截断”积分

傅里叶变换，

当K趋于无穷时，在空间l²(R^m) 中按范数收敛于某函数

。F(x)就称为ƒ的傅里叶变换。类似于一元的情形，成立着普朗歇尔定理。　　
　　以傅里叶变换为工具，研究函数的许多性质，是傅里叶分析的主要内容。傅里叶变换在数学、物理以及工程技术中都有重要的应用。　
参考书目
　E.M.Stein and G.Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,Princeton Univ.Press,Princeton,1971.

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