亥姆霍兹方程

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亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程

　　在数学上具有(墷²+k²)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。式中墷²为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为

；ψ为待求函数;k²为常数；f为源函数。当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。例如,在均匀各向同性媒质中,电场和磁场强度满足下述波动方程

亥姆霍兹方程 (1)
。 (2)

　　当一个函数F(x,y,z,_t)随时间作简谐变动时,可以表成F(x,y,z)e^jwt的形式,这时д/д_t相当于jω，д²/д_t²相当于－ω²,代入式(1)、(2),并利用电荷与电流之间的连续方程墷·J＝-дρ/д_t，可得

亥姆霍兹方程 (3)
， (4)

式中k＝ω(με)^┩，称为波数。
　　在场强的非齐次亥姆霍兹方程中，右边的源函数比较复杂。若换用电磁势，源函数可得到简化。洛伦兹规范下，简谐变化的A和嗞满足下述非齐次亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程 (5)
(6)

　　在没有源的区域，式(5)、(6)变为齐次亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程 (7)
(8)

　　若此区域是有界的，例如在波导中，则因边界条件的限制，方程的解可以用离散的本征模式的线性组合来表示。每一模式的系数取决于源函数和待定函数的边值(见电磁场的边值问题)。

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