二项式定理

目录 [隐藏]

二项式定理由来

二项式定理﹝Binomial Theorem﹞是指(a＋b)n在n为正整数时的展开式。

二项式定理

古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民，通过了以下的几何图形，认识了这个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。它是公式(a＋b)n的特殊情形。这公式在科学上很有用。而在初中我们学到怎样算(a＋b)n，当n是较小的正整数。如：

n＝1，我们有(a＋b)1＝a＋b
n＝2，我们有(a＋b)2＝(a＋b) (a＋b)
＝a(a＋b)＋b(a＋b)
＝a2＋2ab＋b2
n＝3，我们有(a＋b)3＝(a＋b) (a＋b)2
＝a(a2＋2ab＋b2)＋b(a2＋2ab＋b2)
＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
是否有较快的方法，写下(a＋b)n的展开式呢？
有的，请看底下的方法，这方法的原理和上面的展开方法是一样的，但容易看出来：
(a＋b)n的系数表为：
1
1    1
1     2     1
1     3     3     1
1     4     6     4     1
1     5     10   10   5     1
1     6     15   20   15    6    1

二项式定理

……
这个三角形，在我国称为“贾宪三角” ，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中，“开方作法本源，出《释锁算书》，贾宪用此术。” 我们对贾宪的生平知道的不多，而《释锁算书》早已失传。只知道他是北宋时楚衍（1022—1053）的学生。
除了杨辉的书有这个贾宪三角形，另外一本元朝朱世杰的书，出版于1303年的《四元玉鉴》也有这个贾宪三角形的图。
在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》 (1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。
但在欧洲，这个三角形一般却称之为“帕斯卡三角形” ，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。
1665年，刚好22岁的牛顿在大学毕业前夕把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，并给出了展开式。
(a＋b)n＝an＋ an－1b＋ an－2b2＋…＋ ab n－1＋bn
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用，是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具，对于微积分的充分发展更是必不可少的一步。