不定积分

[Mathematics] an indefinite integral
不定积分是积分学的基本问题之一，是由一个函数的已知数（或微分），去求原来的函数。

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不定积分概念

不定积分

设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x) C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x) C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；

不定积分

即：

不定积分

2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，

即：

不定积分

不定积分基本积分公式

不定积分

不定积分证明方法

全微分方程的不定积分解法及其证明

一个一阶微分方程写成
P (x , y ) dx + Q (x , y ) dy = 0 (1)
形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u= u (x , y ) 的全微分:
du (x , y ) = P (x , y ) dx + Q (x , y ) dy
那么方程(1) 就叫做全微分方程。这里
5u
5x
= P (x , y ) , 　　
5u
5y
= Q (x , y )
方程(1) 就是du (x , y ) = 0, 其通解为:
u (x , y ) = C　(C 为常数)
可见, 解全微分方程的关键在于求原函数u (x , y )。因此, 本文将提供一种求原函数u (x , y ) 的简捷
方法, 并给出证明。
1　引入记号
为了表述方便, 先引入记号如下:
设M (x , y ) 为一个含有变量x , y 项的二元函数, 定义:
(1)“M (x
q
, y ) ”表示M (x , y ) 减去它里面含有变量x 的项;
(2)“M (x , y
q
) ”表示M (x , y ) 减去它里面含有变量y 的项;
注意: 常数项看作既不含变量x 也不含变量y 的项。
现举一例如下:
设:M (x , y ) = xy + x ey+ x
1- x
+ sinx+ co sx co sy + y 2+ 1
按记号定义有:
M (x
q
, y ) = M (x , y ) - (x y + x ey +
x
1 - x
+ sinx + co sx co sy ) = y 2 + 1
M (x , y
q
) = M (x , y ) - (x y + x ey + co sx co sy + y 2) =
x
1 - x
+ sinx + 1
　　2　u (x , y ) 的简捷求法
引理　设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y ) ,Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数, 则
P (x , y ) dx + Q (x , y ) dy 在G 内为某一函数u (x , y ) 的全微分的充分必要条件是等式
5P
5y
=
5Q
5x
(2)
在G 内恒成立。
如果方程(1) 左端满足(2) 式, 那以原函数
20　　　　　　　　　　　　　高等数学研究
STUD IES IN COLL EGEMA THEMA T ICS　　　　　　　　　　Vo l15,No12
Jun. , 2002
X 收稿日期: 2001—09—11。
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u (x , y ) =∫P (x , y
q
) dx +∫Q (x , y ) dy (3)
或者　u (x , y ) =∫P (x , y ) dx + ∫Q (x
q
, y ) dy (4)
　　3　证明
显然我们只需证明函数u (x , y ) 的全微分就是P (x , y ) dx + Q (x , y ) dy。即只需证明
5u
5x
= P (x , y ) , 且
5u
5y
= Q (x , y )
这里先证明(3) 式。
由于按记号定义P (x , y
q
) 中不含有自变量y 的项, 不妨设:
P (x , y
q
) = f (x ) , P (x , y ) - f (x ) = g (x , y )
代入(3) 式得
u (x , y ) =∫f (x ) dx +∫Q (x , y ) dy (5)
5u
5x
=
5∫f (x ) dx
5x
+
5∫Q (x , y ) dy
5x
= f (x ) +∫5 Q (x , y )
5x
dy (6)
由引理知:
5P
5y
=
5Q
5x
∴ 　
5Q
5x
=
5P
5y
=
5[P (x , y ) - f (x ) ]
5y
=
5g (x , y )
5y
将上式代入(6) 式, 得:
5u
5x
= f (x ) +∫5 Q (x , y )
5x
dy = f (x ) + g (x , y ) = P (x , y )
∴ 　
5u
5x
= P (x , y )
另一方面, 由(5) 式得:
5u
5y
=
5∫f (x ) dx
5y
+
5∫Q (x , y ) dy
5y
= 0 + Q (x , y ) = Q (x , y )
∴ 　
5u
5y
= Q (x , y ) 　至此我们已经证明了(3) 式。
同理可以证明(4) 式。
4　应用举例
解微分方程: (2x co sy + y 2co sx ) dx + (2y sinx - x 2 siny ) dy = 0
解　∵
5Q
5x
= 2y co sx - 2x siny =
5P
5y
　∴所以该方程为全微分方程。
原函数
u (x , y ) =∫P (x , y
q
) dx + ∫Q (x , y , ) dy =
　∫0õ dx + ∫(2y sinx - x 2 siny ) dy = y 2 sinx + x 2co sy
所以原方程的通解为:
y 2 sinx + x 2co sy = C