)三角级数
一种特殊的正交函数级数。形如
的级数称为正交函数级数，其中сn是和x无关的实数,{φn(x)}是在某固定区间【α,b】上正交的函数系,特别当正交函数系是【0,2π】上的三角函数系时，相应的级数可写作 
(1)
三角级数(1)还可以写成下面复数形式的级数：
(2)
（叿n表示сn的共轭复数）。级数(2)的部分和Sn理解为
如果三角级数(1)对一切实数x都收敛,那么(1)表示了实数轴上的一个周期为2π周期函数ƒ(x),即ƒ(x+2π)=ƒ(x)对一切x∈(- ∞，∞)都成立。这是因为(1)中每一项都是周期为2π的周期函数。但是实际问题往往是，对给定的函数ƒ，如果它是具有周期2π的周期函数,需要把它表示成三角级数(1)。19世纪初,法国科学家J.-B.-J.傅里叶在研究热的流动时，为了求解热方程，首先就提出了这个想法。他的设想，虽然从现在的观点看，缺乏理论的严谨性，但却是人们对三角级数进行研究的出发点，对于近代数学以及物理、工程等许多学科都有着深远的影响。
如果三角级数(1)一致收敛于连续函数ƒ(x),那么用coskx或sinkx去乘级数(1)，再在区间(0,2π)上进行积分，注意到逐项积分的可能性，就得到系数αn,bn与函数ƒ的关系式：
(3)
对于给定的周期函数ƒ(x)，如果ƒ是可积的,那么从(3)式仍然可以得到αn，bn，从而得到相应的傅里叶级数(1)。这就建议人们去研究ƒ 的傅里叶级数是否收敛于ƒ以及有关的许多问题。从19世纪到现在,傅里叶级数的理论逐步得到建立，已成为三角级数理论中的一个基础分支，也是一个具有广泛应用的工具学科（见傅里叶级数）。
傅里叶级数的性质，由函数ƒ可以通过(3)进行研究。自然要问，任意的三角级数(1),是否为某函数的傅里叶级数呢？这个问题的答案是否定的。因为根据傅里叶系数的性质，傅里叶系数αn,bn必须满足条件
是三角级数，而不是傅里叶级数。 那么系数αn,bn趋于0的三角级数(1),是否为傅里叶级数呢?下面的例子
说明,它的系数趋于0，而且级数处处收敛于某函数ƒ(x)，但因 
三角级数(1)的共轭级数是
(4)
(5)
值得注意的是，傅里叶级数的共轭级数未必是傅里叶级数。例如，级数
却不是傅里叶级数。但是可以证明，如果级数(1)是某函数ƒ的傅里叶级数，并且|ƒ|p是可积的，其中p>1,那么它的共轭级数(4)也是傅里叶级数。 一般的三角级数,由于不存在关系式(3)，因此增加了它的复杂性。到目前为止，人们对它的了解还是十分初步的。值得注意的是，三角级数往往可以提供许多奇特的函数，这对数学理论的基础研究，有着重大的意义。
例如，用所谓F.里斯的无穷乘积
(6)
且系数
那么(6)乘得的三角级数几乎处处收敛于0，而它的系数却不全为0。 又例如缺项很多的三角级数
(7)
时，称为阿达马缺项三角级数。它具有很奇特的性质：要么几乎处处收敛于一个平方可积函数,要么几乎处处不收敛,如属后者，则它不是傅里叶级数。 中国在三角级数方面开展研究最早的是陈建功。他从1928年开始就在日本《东京皇家科学院学报》发表关于正交函数级数的文章，他于1930年在日本岩波书店出版的《三角级数论》是国际上三角级数论方面较早的专著之一。
