)一致分布
研究实数的分数部分在区间U1=【0,1)中的分布问题。一致分布理论的发展则开始于H.外尔1916年关于一致分布理论的著名研究。一致分布除自身的发展外，在解析数论、概率论和近似分析中都有重要的应用。例如，关于外尔和估计的研究是解析数论与堆垒数论中的核心。
命xj(i=1,2,…)为U1中的一个点集。对于任意正整数n及任意实数r∈U1，命Nn(r)表示n个点xj(1≤i≤n)落入区间【0, r)的点的个数。如果
,
外尔给出了判断一致分布的重要法则，即所谓外尔判别法:点集xj(i=1,2,…)在U1中一致分布的充分必要条件为，对于任一U1中的黎曼可积函数ƒ(x)，皆有
。
,
。
，
或D(n)=O(1)。偏差是用来刻画一致分布点集的分布误差的。关于偏差的重要结果如下： 对于U1中任意n个数xj(1≤i≤n)及任意正整数m皆有
。这基本上是P.爱尔特希和P.图兰得到的。 对于U1中任意n个点皆有
，此处с为一个正的绝对常数。这是K.F.罗特得到的。 一致分布的定义可以推广到s维欧几里得空间,此处s≥2。命Us表示s维单位立方体,即适合0≤xj≤1,1≤i≤s的全体点尣 =(x1,x2,…,xs)。命p(h)=(x1(h),x2(h),…, xs(h))(h=1,2,…)为Us中的点集。对于任意r=(r1,r2,…,rs)∈Us,命Nn(r)表示适合下面条件的p(h)(1≤h≤n)的个数0≤xj(h)< rj,1≤i≤s,则这n个点的偏差定义为
，
外尔判别法及关于偏差的结果,在s维空间都有相应的推广。
一致分布的定义及外尔判别法还可以推广到紧致空间与拓扑群。
一致分布理论中有不少待解决的问题。例如数列ex(x=1,2,…)是否对模1为一致分布,就是未解决的著名问题。
参考书目
华罗庚著：《指数和的估计及其在数论中的应用》，科学出版社，北京，1963。
L.Kuipers and H.Niederreiter,Uniform Distribution of Sequences, John Wiley & Sons,NewYork, 1974.
