一致分布

 

　　研究实数的分数部分在区间U₁=【0,1)中的分布问题。一致分布理论的发展则开始于H.外尔1916年关于一致分布理论的著名研究。一致分布除自身的发展外，在解析数论、概率论和近似分析中都有重要的应用。例如，关于外尔和估计的研究是解析数论与堆垒数论中的核心。
　　命x_j(i=1,2,…)为U₁中的一个点集。对于任意正整数n及任意实数r∈U₁，命N_n(r)表示n个点x_j(1≤i≤n)落入区间【0, r)的点的个数。如果

,

则称点集x_j(i=1,2,…)在U₁中一致分布。
　　外尔给出了判断一致分布的重要法则，即所谓外尔判别法:点集x_j(i=1,2,…)在U₁中一致分布的充分必要条件为，对于任一U₁中的黎曼可积函数ƒ(x)，皆有

。

应用这一法则十分困难，因为需对所有黎曼可积函数进行研究才能证明点集的一致分布性，于是导致外尔在黎曼可积函数的集合中，选出一个特殊的序列

,

其线性包给出每一黎曼可积函数。从而他证明了下面更精密的判别法：数列x_j(i=1,2,…)在U₁中一致分布的充分必要条件为，对于任意整数_h≠0，常有

。

例如,对于任何实无理数α，数列nα( n=1,2,…)对模1是一致分布，即它们的分数部分｛nα｝(n=1,2,…)在U₁中一致分布。又如,若多项式ƒ(x)的次数大于或等于1，其系数为实数且至少有一个系数为无理数,则数列ƒ(x)(x=1,2,…)对模1是一致分布。命

，

D(n)称为点列x_j(1≤i≤n)的偏差。因此,若点集x_j(i=1,2,…)在U₁中一致分布，则或D(n)=O(1)。偏差是用来刻画一致分布点集的分布误差的。关于偏差的重要结果如下：
　　对于U₁中任意n个数x_j(1≤i≤n)及任意正整数m皆有。这基本上是P.爱尔特希和P.图兰得到的。
　　对于U₁中任意n个点皆有，此处с为一个正的绝对常数。这是K.F.罗特得到的。
　　一致分布的定义可以推广到s维欧几里得空间,此处s≥2。命U_s表示s维单位立方体,即适合0≤x_j≤1,1≤i≤s的全体点尣 =(x₁,x₂,…,x_s)。命p(h)=(x₁(h),x₂(h),…, x_s(h))(h=1,2,…)为U_s中的点集。对于任意r=(r₁,r₂,…,r_s)∈U_s,命N_n(r)表示适合下面条件的p(h)(1≤h≤n)的个数0≤x_j(h)< r_j,1≤i≤s,则这n个点的偏差定义为

，

此处|r|=r₁r₂…r_s。若D(n)=O(1),则称点集p(h)(h=1，2，…)在U_s中一致分布。
　　外尔判别法及关于偏差的结果,在s维空间都有相应的推广。
　　一致分布的定义及外尔判别法还可以推广到紧致空间与拓扑群。
　　一致分布理论中有不少待解决的问题。例如数列e^x(x=1,2,…)是否对模1为一致分布,就是未解决的著名问题。
　　参考书目
　华罗庚著：《指数和的估计及其在数论中的应用》，科学出版社，北京，1963。
　L.Kuipers and H.Niederreiter,Uniform Distribution of Sequences, John Wiley & Sons,NewYork, 1974.

 

一致分布 - 配图

 

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